③ ； ④ ；

⑤任意一个 维向量都可以用 线性表示.

√ 行列式的计算：

① 若 都是方阵（不必同阶）,则

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

③关于副对角线：

√ 逆矩阵的求法:

① ②

③ ④

⑤

√ 方阵的幂的性质： √ 设 ，对 阶矩阵 规定： 为 的一个多项式. √ 设 的列向量为 , 的列向量为 ， 的列向量为 ,

√ 用对角矩阵 左乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵 右乘一个矩阵,相当于用 的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.

√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：

√ 矩阵方程的解法：设法化成 当 时, √ 和 同解（ 列向量个数相同）,则： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③ 它们有相同的内在线性关系. √ 判断 是 的基础解系的条件： ① 线性无关； ② 是 的解；

③ .

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.

⑥ 向量组 中任一向量 ≤ ≤ 都是此向量组的线性组合. ⑦ 向量组 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示.

向量组 线性无关 向量组中每一个向量 都不能由其余 个向量线性表示.

⑧ 维列向量组 线性相关 ；

维列向量组 线性无关 .

⑨ .

⑩ 若 线性无关，而 线性相关,则 可由 线性表示,且表示法惟一.

? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

向量组等价 和 可以相互线性表示. 记作： 矩阵等价 经过有限次初等变换化为 . 记作：

? 矩阵 与 等价 作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵 与 作为向量组等价

矩阵 与 等价.

? 向量组 可由向量组 线性表示 ≤ . ? 向量组 可由向量组 线性表示,且 ，则 线性相关.

向量组 线性无关,且可由 线性表示,则 ≤ .

? 向量组 可由向量组 线性表示,且 ,则两向量组等价；

? 任一向量组和它的极大无关组等价.

? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.

? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

? 若 是 矩阵,则 ,若 ， 的行向量线性无关；

若 ， 的列向量线性

无关,即： 线性无关.

线性方程组的矩阵式 向量

式

矩阵转置的性质：

矩阵可逆的性质：

伴随矩阵的性质：

线性方程组解的性质：

√ 设 为 矩阵,若 ,则 ,从而 一定有解.

当 时,一定不是唯一解. ,则该向量组线性相关.

是 的上限.

√ 矩阵的秩的性质： ① ② ≤ ③ ≤

④ ⑤

⑥ ≥ ⑦ ≤ ⑧ ⑨

⑩ 且 在矩阵乘法中有左消去律: 标准正交基 个 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

. 是单位向量 .

√ 内积的性质： ① 正定性： ② 对称性：

③ 双线性：

施密特 线性无关,

单位化：

正交矩阵 .

√ 是正交矩阵的充要条件： 的 个行（列）向量构成 的一组标准正交基.

√ 正交矩阵的性质：① ；

② ；

③ 是正交阵,则 （或 ）也是正交阵；

④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

的特征矩阵 . 的特征多项式 .

的特征方程 .

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的 各元素. √ 若 ,则 为 的特征值,且 的基础解系即为属于 的线性无关的特征向量.

√

√ 若 ,则 一定可分解为 = 、 ,从而 的特征值为： , .

√ 若 的全部特征值 ， 是多项式,则:

① 的全部特征值为 ；