问题1 前面我们已经得到了一些判定两个平面平行的方法，请你回顾已有的两个平面平行的判定定理，你能说说得到这些判定定理的思想方法吗？

——定义法（由于两个平面上的点是无穷的，因此“没有公共点”不容易说清楚，不好用）；

——化归为直线与平面平行（由平面α内的两条相交直线与平面β平行得到α∥β，实际上利用了“两条相交直线确定一个平面”，应用了化未知为已知的思想，降维的方法）。

先行组织者：从前面学习直线、平面位置关系的判定可知，判定方法不唯一。你有没有想过别的判定方法？在研究问题时，类比、推广、特殊化等是获得研究成果的常用方法。

问题2 类比两条直线相互平行的判定，能否得到一些猜想？ 学生可能得到：

类比“同一平面内，直线a，b同时平行于直线c，则a∥b”，猜想“如果平面α，β 同时平行于平面 γ，则α∥β”。通过证明可得这一命题是正确的。

类比“同一平面内，直线a，b同时垂直于直线c，则a∥b”，猜想“如果平面α，β 同时垂直于平面 γ，则α∥β”。通过举反例，发现这一命题是错误的。教师可进一步提示：将其中的若干条直线换为平面再试试？可得“如果平面α，β 同时垂直于直线c，则α∥β”，这是一个正确的命题。

另外，还可以通过类比“两条直线与第三条直线相交，同位角（内错角）相等，或同旁内角互补，则两直线平行”，得出一些判定两个平面平行的判定方法。

4. “概念+数学思想方法”PK“题型+技巧”

在我们的数学课堂中，解题教学历来是重点、核心。教师常常把注意力集中在“题型”及其技巧上，许多老师分不清技巧与思想方法的界限，错误地把技巧当成思想方法，而且往往把技巧直接告诉学生，再让学生通过模仿训练记住技巧，而对技巧的来龙去脉则语焉不详特别是对蕴含于数学知识中的数学思想方法教学，因其是一种潜移默化、润物无声的“慢工”，被有些老师判为“不实惠”而得不到应有的渗透、提炼和概括。结果是在稍有变化的情境中，因为没有数学思想方法的支撑，“特技”失灵，“动作”变形，灵活应用数学知识解决问题的能力成为“泡影”。在“能力立意”的高考中出现“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的结局就不足为奇了。

实际上，技巧往往是“可以意会不可言传”的，是不可复制的，而且掌握技巧需要付出大量时间、精力的代价，这是得不偿失的。大众数学教育是普及性的，目的是培养公民的基本数学素养，就像平时锻炼身体不需要专业运动技巧一样，并不需要太多高超的解题技巧，教学时也很难用富有启发性的语言予以传授。因此，技巧，雕虫小技也，不足道也！概念及其蕴含的思想方法才是根本大法！我们要强调数学知识及其蕴含的思想方法教学的重要性，无知者无能，在对数学知识没有基本理解时就进行解题训练是盲目的，也是注定低效的。解题训练

应针对概念的理解和应用，要让学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯。另外，解题的灵活性来源于概念的实质性联系，技巧是不可靠的，因此要加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。

例6 如何讲“比较1.70.3与0.93.1的大小”。

这是教科书为了巩固指数函数的性质而设置的一个练习。在此之前有两个小题为“比较1.72.5和1.73，0.8－0.1和0.8－0.2的大小。”由于这两个小题可以通过直接构造一个指数函数，并利用指数函数的单调性做出判断，因此比较简单。但本小题的底数、指数都不同，无法构造一个指数函数而直接得解，于是有的老师就说：“这类题目就是要找一个中间量来比大小，这个量一般是1……”这样的讲解，离开了指数函数的概念和性质，使这个“中间量1”成为一个“从天而降”的神秘物，变得无依无靠、不可琢磨。

实际上，我们完全可以从指数函数的性质中找到思路，形成解题的突

x破口：对于任意指数函数y=a（a＞0，a≠1），它们都有一个共性a0=1，

这就是“中间量1”的来源。因此，引导学生回到概念去，回到基本原理去，不仅能找到解题思路，而且能使思考过程更合理、更高效。 5. 怎样进行“思维的教学”

众所周知，数学是思维的科学，数学是思维的体操。数学教学的核心任务之一是要培养学生的思维能力，使学生在掌握数学基础知识的过程中，学会感知、观察、归纳、类比、想象、抽象、概括、推理、证明和反思等逻辑思考的基本方法。从课堂教学现状看，许多老师还

没有掌握“思维的教学”的基本方法，不能有效地抓住“思维的教学”的时机。

思维发展心理学的研究表明，概括是人们掌握概念的直接前提；概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；概括是科学研究的关键机制；学习和应用知识的过程也是概括的过程；数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学思维能力训练的基础；概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。因此，“思维的教学”的基本方法是以数学知识的发生发展过程为载体，为学生的概括活动搭建平台，千方百计地给学生提供概括的机会，锻炼学生的概括能力，使学生学会概括。特别要注意在概括的关键环节上放手让学生自主活动。

例7 “二元一次不等式表示平面区域”的概括活动。

本课有两个关键环节：一是获得“同侧同号”的猜想；二是获得证明猜想的方法[过点P(x0 ，y0 )作x轴的垂线，交直线Ax+By+C=0于Q(x1 ，y1 )，通过比较y0 ，y1 的大小而得]。

引导学生猜想“同侧同号”时，许多老师先让学生在平面上任意找几个点，将坐标代入Ax+By+C，观察取值符号与点的位置的关系，然后再用信息技术演示。这是一个很好的设计，但老师在实施过程中，不是用“在取值符号与点的位置的关系上，同学们发现什么规律了吗？”引导学生自己得出结论，而是说：“同学们发现没有，在直线Ax+By+C=0同侧的点，坐标代入Ax+By+C后取值的符号相同？这就

是?同侧同号?。”貌似“引导发现”，实则“包办代替”，剥夺了学生独立思考、发现规律的机会。

在证明“同侧同号”时，老师让学生先自己独立证明，再全班交流。这样安排也是好的。问题是：许多学生不是自己独立想出证明方法，而是通过看书，看“懂了”说出来的。这时该怎样进行“思维的教学”呢？该如何引导学生的思维呢？许多老师的做法是：（面向全体学生）他说的对不对？大家听懂了吗？在学生回答“对”“懂了”以后，结束证明，进入解题训练。显然，这样做达不到“思维的教学”的目的。 我认为，在学生说出“过点P(x0 ，y0 )作垂直于x轴的垂线，交直线Ax+By+C=0于Q(x1 ，y1 )……”以后，必须追问一下：你是怎么想到的？这样才能把学生的“似懂非懂”暴露出来，从而把学生的思维引向深入，产生实质性思考。

实际上，这一方法的正确性容易理解，但思想比较深刻，因为它要把两个看上去没有关联的对象联系起来，要有较强的“坐标法”思想和化归能力。这是一个“不是做不到，而是想不到”的方法。从思维过程看，要思考：如何建立点P(x0 ，y0 )与直线Ax+By+C=0的联系？如何用代数语言（不等式）把点P(x0 ,y0 )在直线Ax+By+C=0的“左上方”、“右下方”、“左下方”、“右上方”等图形语言表达出来？引导学生思维的深入也正是在这几个点上：

如图，“点P(x0 ，y0 )在直线l：Ax+By+C=0的左上方”，如何用坐标将这种位置关系表示出来？