第三课 不等式

[核心速填]

1．比较两实数a，b大小的依据

a－b>0?a>b.a－b＝0?a＝b.a－b<0?a

2．不等式的性质

性质1 性质2 性质3 性质4 性质5 性质6 性质7 性质8 如果a>b，那么bb，即a>b?bb，b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c. 如果a>b，那么a＋c>b＋c. 如果a>b，c>0，那么ac>bc， 如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a＋c>b＋d. 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 如果a>b>0，那么a>b，(n∈N，n≥1)． 如果a>b>0，那么a>b(n∈N，n≥2). nn*nn*3.二元一次不等式表示的平面区域 Ax＋By＋C(B>0)?

?>0?

??<0

?上?

表示对应直线?

??下

方区域．

4．二元一次不等式组表示的平面区域

每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域． 5．两个不等式 不等式 重要不等式 基本不等式 内容 等号成立条件 “a＝b”时取等号 “a＝b”时取等号 a2＋b2≥2ab(a，b∈R) ab≤a＋b2(a>0，b>0) [体系构建] - 1 -

[题型探究]

一元二次不等式的解法

[探究问题]

1．当a>0时，若方程ax＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且α<β，则 不等式ax＋bx＋c>0的解集是什么？

提示：借助函数f(x)＝ax＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|x<α或

2

2

2

x>β}．

2．若[探究1]中的a<0，则不等式ax＋bx＋c>0的解集是什么？ 提示：解集为{x|α

3．若一元二次方程ax＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b－4ac<0，则ax＋bx ＋c>0的解集是什么？

提示：当a>0时，不等式的解集为R；当a<0时，不等式的解集为?.

?x－x－2>0?

若不等式组?2

?k＋?2x＋

22

2

2

2

x＋5k<0

的整数解只有－2，求k的取

值范围.

【导学号：91432361】

思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不 等式，取交集判断．

[解] 由x－x－2>0，得x<－1或x>2.

52

对于方程2x＋(2k＋5)x＋5k＝0有两个实数解x1＝－，x2＝－k.

2

???555

(1)当－>－k，即k>时，不等式的解集为?x?－k

222???

2

??

?，显然－2? ??

- 2 -

?－k，－5?. ??2??

52

(2)当－k＝－时，不等式2x＋(2k＋5)x＋5k<0的解集为?.

255

(3)当－<－k，即k<时，

22

???5

不等式的解集为?x?－

??

?. ??

x<－1，??

∴不等式组的解集由?5

－2，??

或?5

－

确定．

∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k≤3，

故所求k的范围是－3≤k<2.

母题探究：.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a∈R，解关于x的不 等式ax－2x＋a<0”．

[解] (1)若a＝0，则原不等式为－2x<0，故解集为{x|x>0}． (2)若a>0，Δ＝4－4a.

1－1－a1＋1－a①当Δ>0，即0

2

2

2

2

2

aa∴原不等式的解集为

??1－1－a21＋1－a2?x?

aa??

?

?. ?

②当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为?. ③当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为?. (3)若a<0，Δ＝4－4a.

①当Δ>0，即－10， ∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}． ③当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R. 综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为?；

2

2

- 3 -