《导数》高三一轮复习训练

一、解答题（共16小题） 1．（2011?安徽）设

，其中a为正实数

（Ⅰ）当a=时，求f（x）的极值点；

（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

2．（2011?北京）已知函数f（x）=（x﹣k）e． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

3．已知函数f（x）=x+3ax+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R） （Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）； （Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围． 4．（2011?福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=

+10（x﹣6），其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该

2

3

2

x

商品11千克． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

1

5．（2011?福建）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=﹣ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然对数的底数）． （Ⅰ）求实数b的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由．

6．（2011?湖北）设函数f（x）=x+2ax+bx+a，g（x）=x﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l． （Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程； （Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．

7．（2011?湖南）设函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性． （Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线斜率为k．问：是否存在a，使得k=2﹣a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

8．（2011?江西）设（1）若f（x）在

上存在单调递增区间，求a的取值范围．

，求f（x）在该区间上的最大值．

3

2

2

（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为

2

9．（2011?江西）设f（x）=x+mx+nx．

（1）如果g（x）=f′（x）﹣2x﹣3在x=﹣2处取得最小值﹣5，求f（x）的解析式；

+

（2）如果m+n＜10（m，n∈N），f（x）在单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．（注：区间（a，b）的长度为b﹣a）

10．已知函数f（x）=（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x＞0，且x≠1时，f（x）＞

11．（2011?辽宁）已知函数f（x）=lnx﹣ax+（2﹣a）x． （I）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；

（Ⅲ）若函数y=f（x）的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＜0．

12．（2011?辽宁）设函数f（x）=x+ax+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2．

3

2

2

3

2

+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．

+，求k的取值范围．

13．（2011?陕西）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）． （Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论g（x）与

的大小关系；

（Ⅲ）求a的取值范围，使得g（a）﹣g（x）＜对任意x＞0成立．

14．（2011?天津）已知函数f（x）=4x+3tx﹣6tx+t﹣1，x∈R，其中t∈R． （Ⅰ）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）当t≠0时，求f（x）的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

15．已知函数f（x）=x+，h（x）=

2

3

2

2

．

2

（Ⅰ）设函数F（x）=18f（x）﹣x[h（x）]，求F（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）设a∈R，解关于x的方程lg[f（x﹣1）﹣]=2lgh（a﹣x）﹣2lgh（4﹣x）； （Ⅲ）设n∈N，证明：f（n）h（n）﹣[h（1）+h（2）+…+h（n）]≥．

4

n

16．（2011?浙江）设函数f（x）=alnx﹣x+ax，a＞0，且f（1）≥e﹣1． （Ⅰ）求f（x）的单调区间

（Ⅱ）求所有的实数a，使e﹣1≤f（x）≤e对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．

2

2

2

5