（三十九） 利用空间向量求空间角

[一般难度题——全员必做]

1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D为B1C1的中点，求异面直线BD和A1C所成角的余弦值．

解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设CA＝CB＝CC1＝2，则A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)， ―→―→

∴BD＝(0，－1,2)， A1C＝(－2,0，－2)，

―→―→BD·A1C1010―→―→

∴cos〈BD，A1C〉＝―＝－.∴异面直线BD与A. 1C所成角的余弦值为→―→55

| BD||A1C|2.(2018·河南洛阳模拟)已知三棱锥A -BCD，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD＝BD＝2，CD＝23，E，F分别是AC，BC的中点，P为线段BC上一点，且CP＝2PB.

(1)求证：AP⊥DE；

(2)求直线AC与平面DEF所成角的正弦值． 解：(1)证明：作PG∥BD交CD于点G.连接AG. CGCP

∴GD＝PB＝2， 12

∴GD＝CD＝3.

33

∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥DC， ∵在△ADG中，tan∠GAD＝

3

， 3

∴∠DAG＝30°，在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝4＋12＝16，∴AC＝4，又E为AC的中点，∴DE＝AE＝2，

又AD＝2，∴∠ADE＝60°，∴AG⊥DE. ∵AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，

又∵BD⊥CD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC， ∴PG⊥平面ADC，∴PG⊥DE.

又∵AG∩PG＝G，∴DE⊥平面AGP，又AP?平面AGP，

∴AP⊥DE.

(2)以D为坐标原点，直线DB、DC、DA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D -xyz，

则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,23，0)，E(0，3，1)，F(1，3，0)，

∴―DF→＝(1，3，0)，―DE→＝(0，3，1)，―AC→

＝(0,23，－2)． 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)， ?则?―?DF→·n＝0，??x＋3y＝0，?? ―DF→即?

·

n＝0，

??3y＋z＝0，

令x＝3，则n＝(3，－3，3)． 设直线AC与平面DEF所成角为θ，

则sin θ＝|cos〈―AC→

，n〉|＝|―AC→

·n|＝|－6－6|＝21|―AC→|·|n|4217，

所以AC与平面DEF所成角的正弦值为

217

. 3.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.

(1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D -AF-E的余弦值．

解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD. 又CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD. 又PC?平面PCD，∴AD⊥PC. 又AF⊥PC，AD∩AF＝A，

∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF.

(2)设AB＝1，则在Rt△PDC中，CD＝1，又∠DPC＝30°， ∴PC＝2，PD＝3，∠PCD＝60°. 由(1)知CF⊥DF，∴DF＝CDsin 60°＝3

2

，

1

CF＝CDcos 60°＝.

2

DECF13

又FE∥CD，∴＝＝，∴DE＝.

PDPC4433

同理EF＝CD＝.

44

如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，E

?3，0，0?，F?3，3，0?，P(3，0,0)，C(0,1,0)． ?4??44?

―→??m⊥AE，设m＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，则?

―→??m⊥EF.3―→?3→?―0，，0?， 又AE＝，0，－1，EF＝??4??4?3―→

AE＝x－z＝0，?m·4∴?―→3

m·EF＝y＝0.?4

令x＝4，得m＝(4,0，3)．

―→

由(1)知平面ADF的一个法向量为PC＝(－3，1,0)， 设二面角D -AF-E的平面角为θ，可知θ为锐角， ―→|m·PC|43257―→

故cos θ＝|cos〈m，PC〉|＝―＝＝. →1919×2|m||PC|257故二面角D -AF -E的余弦值为.

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[中档难度题——学优生做]

1.(2018·郑州质量预测)如图，三棱柱ABC -A1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

(1)证明：EF∥平面A1CD；

(2)若三棱柱ABC -A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

解：(1)证明：在三棱柱ABC -A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，