第4练 计数原理与二项式定理

年份 2018 卷别 卷Ⅰ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 2017 卷Ⅱ 卷Ⅲ 卷Ⅰ 考查内容及考题位置 计数原理与组合问题·T15 二项式定理、二项展开式中特定项的系数·T5 二项式定理、二项展开式中特定项的系数·T6 计数原理、排列组合的应用·T6 二项式定理、二项展开式中特定项的系数·T4 二项式定理、二项展开式中特定项的系数·T14 命题分析 1.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型． 2．二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系2016 数及二项式系数为主，题目卷Ⅱ 计数原理、组合的应用·T5 难度一般，多出现在第9～10题或第13～15题的位置上.

两个计数原理

应用两个计数原理解题的方法

(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．

(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

[考法全练]

1．(2018·石家庄模拟)用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )

A．250个 C．48个

B．249个 D．24个

解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A34＝24(个)； ②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A34＝24(个)．

由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.

2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为( )

A．240 C．729

解析：选A.分8类，

B．204 D．920

当中间数为2时，有1×2＝2(个)； 当中间数为3时，有2×3＝6(个)； 当中间数为4时，有3×4＝12(个)； 当中间数为5时，有4×5＝20(个)； 当中间数为6时，有5×6＝30(个)； 当中间数为7时，有6×7＝42(个)； 当中间数为8时，有7×8＝56(个)； 当中间数为9时，有8×9＝72(个)．

故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．

3．(2018·合肥质量检测)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为( )

A．96 C．168

B．114 D．240

解析：选C.先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，再在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.

4．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是________． 解析：按分步来完成此事．第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，故共有10×9×8＝720种分法．

答案：720

5．在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．

解析：分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有4×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8名运动员的方式共有24×120＝2 880(种)．

答案：2 880

排列、组合的应用

排列、组合应用问题的8种常见解法 (1)特殊元素(特殊位置)优先安排法． (2)相邻问题捆绑法． (3)不相邻问题插空法．

(4)定序问题缩倍法． (5)多排问题一排法．

(6)“小集团”问题先整体后局部法． (7)构造模型法．

(8)正难则反，等价转化法．

[考法全练]

1．(2018·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有( )

A．10种 C．70种

B．40种 D．80种

1解析：选B.若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C5种挑法，再从剩12

下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C24种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有C5C4＝30种

搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C25种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C25＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B.

2．(2018·甘肃第二次诊断检测)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )

A．18种 C．36种

B．24种 D．48种

解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，

2有A22A3＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢2走，有A22A3＝12种；若甲、乙抢的是一个8和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人2抢走，有A22C3＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有

A23＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.

3．(一题多解)(2018·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )

A．120种 C．188种

B．156种 D．240种

解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3

32312312312323和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A22A3，A2A3，C2A2A3，C3A2A3，C3A2A3，故总编排方案有A2A33123123123＋A22A3＋C2A2A3＋C3A2A3＋C3A2A3＝120种．

法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，

23123则有C14A2A3＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C3A2A3＝36种；③当甲在3号23位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C13A2A3＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120种．