包含与排除（一）

包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

【典型例题】

例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。（单位：厘米） 分析与解：

这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：

方法一：72?52?2?5?64（平方厘米） 方法二：72?2?5?52?64（平方厘米）

方法三：52?2?5?72?64（平方厘米） 答：盖住桌面的面积是64平方厘米。

例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 分析与解：

根据题意可画图如下

此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。 方法一：37+26—21=42（人） 方法二：37—21+26=42（人）

方法三：37+（26—21）=42（人）

以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。 三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？

我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系： 第一部分+第二部分—重叠部分=两部分之和

例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。两科都得“优”的有几人？ 分析与解：

根据“第一部分+第二部分—重叠部分=两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。 15+17—24=8（人）

另外，从下图中我们还能得出两种不同方法 方法二：17—（24—15）=8（人） 15—（24—17）=8（人） 答：两科都得优的有8人。

例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人？ 分析与解：

这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式，这5人无法在图上表示，根据题意，我们可以这样画图。

要求全班有多少人，除了知道有5人什么组都没参加外，还要求出参加课外小组的有多少人。 24+18—11=31（人） 31+5=36（人）

答：这个班共有学生36人。

例5：某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 分析与解：

根据题意画图如下：

如果我们把三个集合圈看成三张纸片，参加两个组的部分是2层，参加三个组的部分是3层，要求至少参加一个组的人数，就是求三张纸片盖住桌面的大小，因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数

11+8+12—5—3—4+1=20（人）

答：至少参加一个组的有20人。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1.四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？

2.幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？

至100的自然数中：

（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？ （2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？ （3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？

4.某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？

5.全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？ 6.一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？

请做完之后再看答案！

【试题答案】

1.四年级三班订阅《少年文摘》的有19人，订阅《学与玩》的有24人，两种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人？ 19+24—13=30（人）

答：订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。

2.幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？

只学钢琴人数：58—37=21（人） 只学画画人数：43—37=6（人） 至100的自然数中：

（1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？ 既是3的倍数又是2的倍数，一定是6的倍数 100÷6=16……4

所以，既是2的倍数又是3的倍数有16个

（2）是2的倍数或是3的倍数的数有多少个？ 100÷2=50，100÷3=33……1 50+33—16=67（个）

所以，是2的倍数或是3的倍数的数有67个。 （3）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？ 50—16=34（个）

答：是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。

4.某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人？ 12+10—3+26=45（人）

答：这个班共有学生45人。

5.全班50人，会骑车的有32人，会滑旱冰的有21人，两样都会的有8人，求两样都不会的有多少人？ 50—（30+21—8）=7（人） 答：两样都不会的有7人。

6.一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人？ 30+25—42=13（人）

答：这个班两队都参加的有13人。