包含与排除一 下载本文

包含与排除(一)

包含与排除问题也叫容斥原理。“容”是容纳、包含的意思,“斥”是排斥、排除的意思,从题目名称上看,比较抽象,下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

【典型例题】

例1:如下图,桌面上放着两个正方形,求盖住桌面的面积。(单位:厘米) 分析与解:

这是一个组合图形,是由两个正方形组成的,中间重合部分是一个长方形,要想求出盖住桌面的面积,可以有三种不同方法:

方法一:72?52?2?5?64(平方厘米) 方法二:72?2?5?52?64(平方厘米)

方法三:52?2?5?72?64(平方厘米) 答:盖住桌面的面积是64平方厘米。

例2:四(1)班同学中有37人喜欢打乒乓球,26人喜欢打羽毛球,21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人? 分析与解:

根据题意可画图如下

此类问题画集合图比画线段图更直观,更形象一些。 方法一:37+26—21=42(人) 方法二:37—21+26=42(人)

方法三:37+(26—21)=42(人)

以上三种方法是紧密联系的,都是要从中减去重叠部分,可以从其中一部分中减去,再与另一部分合并,也可以从两部分之和中减去重叠部分。 三种方法比较,你喜欢哪一种解法呢?

我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系: 第一部分+第二部分—重叠部分=两部分之和

例3:四年级一班在期末考试中,语文得“优”的有15人,数学得“优”的有17人,老师请得“优”的同学都站起来,数了数有24人。两科都得“优”的有几人? 分析与解:

根据“第一部分+第二部分—重叠部分=两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。 15+17—24=8(人)

另外,从下图中我们还能得出两种不同方法 方法二:17—(24—15)=8(人) 15—(24—17)=8(人) 答:两科都得优的有8人。

例4:图新小学四年级二班有24人参加了美术小组,有18人参加了音乐小组,其中11人两个小组都参加,还有5人什么组都没参加。这个班共有学生多少人? 分析与解:

这个题与例2相比,多了一个已知条件,那就是“有5个人什么组都没参加”。如果按前面的画图方式,这5人无法在图上表示,根据题意,我们可以这样画图。

要求全班有多少人,除了知道有5人什么组都没参加外,还要求出参加课外小组的有多少人。 24+18—11=31(人) 31+5=36(人)

答:这个班共有学生36人。

例5:某班学生参加音乐组的有11人,参加美术组的有8人,参加英语组的有12人,既参加音乐组又参加美术组的有5人,既参加音乐组又参加英语组的有3人,既参加美术组又参加英语组的有4人,三个组都参加的只有1人,问:至少参加一个组的有多少人? 分析与解:

根据题意画图如下:

如果我们把三个集合圈看成三张纸片,参加两个组的部分是2层,参加三个组的部分是3层,要求至少参加一个组的人数,就是求三张纸片盖住桌面的大小,因此要从三组人数之和中减去重叠部分的人数

11+8+12—5—3—4+1=20(人)

答:至少参加一个组的有20人。

【模拟试题】(答题时间:30分钟)

1.四年级三班订阅《少年文摘》的有19人,订阅《学与玩》的有24人,两种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人?

2.幼儿园有58人学钢琴,43人学画画,37人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画的分别有多少人?

至100的自然数中:

(1)是2的倍数又是3的倍数的数有多少个? (2)是2的倍数或是3的倍数的数有多少个? (3)是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个?

4.某班数学、英语期中考试的成绩统计如下:英语得100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人?

5.全班50人,会骑车的有32人,会滑旱冰的有21人,两样都会的有8人,求两样都不会的有多少人? 6.一个班有学生42人,参加体育队的有30人,参加文艺队的有25人,并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人?

请做完之后再看答案!

【试题答案】

1.四年级三班订阅《少年文摘》的有19人,订阅《学与玩》的有24人,两种都订的有13人。问订阅《少年文摘》或《学与玩》的有多少人? 19+24—13=30(人)

答:订阅《少年文摘》或《学与玩》的有30人。

2.幼儿园有58人学钢琴,43人学画画,37人既学钢琴又学画画,问只学钢琴和只学画画的分别有多少人?

只学钢琴人数:58—37=21(人) 只学画画人数:43—37=6(人) 至100的自然数中:

(1)是2的倍数又是3的倍数的数有多少个? 既是3的倍数又是2的倍数,一定是6的倍数 100÷6=16……4

所以,既是2的倍数又是3的倍数有16个

(2)是2的倍数或是3的倍数的数有多少个? 100÷2=50,100÷3=33……1 50+33—16=67(个)

所以,是2的倍数或是3的倍数的数有67个。 (3)是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个? 50—16=34(个)

答:是2的倍数但不是3的倍数的数有34个。

4.某班数学、英语期中考试的成绩统计如下:英语得100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人。这个班共有学生多少人? 12+10—3+26=45(人)

答:这个班共有学生45人。

5.全班50人,会骑车的有32人,会滑旱冰的有21人,两样都会的有8人,求两样都不会的有多少人? 50—(30+21—8)=7(人) 答:两样都不会的有7人。

6.一个班有学生42人,参加体育队的有30人,参加文艺队的有25人,并且每人至少参加一个队。这个班两队都参加的有多少人? 30+25—42=13(人)

答:这个班两队都参加的有13人。