?2162??(1.5)??1.5(1?1.5)3?3?1，所以迭代方法局部收敛。 3169??11，则??(x)??(x?1)2，从而??(1.5)???(0.5)2?2?1，22x?123）设?(x)?133所以迭代方法发散。 ?34）设?(x)?x?1，则??(x)?x2(x3?1)2，从而 213319?9??(1.5)??1.5()2??1，所以迭代方法发散。 283813. 比较求ex?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量： 1）在区间?0,1?内用二分法； 2）用迭代法xk?1?(2?exk)/10，取初值x0?0。 [解]1）使用二分法，令f(x)?ex?10x?2，则 f(0)??1，f(1)?e?8，有根区间为?0,1?； f(0.5)?e0.5?3?0，有根区间为?0,0.5?； f(0.25)?e0.25?0.5?0，有根区间为?0,0.25?； f(0.125)?e0.125?0.75?0，有根区间为?0,0.125?； 113?11?f()?e16???0.5605?0，有根区间为?,?； 168?168?317?13?f()?e32??0.03578?0，有根区间为?,?； 3216?1632?539?53?f()?e64??0，有根区间为?,?； 6432?6432?1173?113?f()?e128??0，有根区间为?,?； 1286412832??23141?233?f()?e256??0，有根区间为?,?； 256128?25632?231153147277?2347?f()?e512??0，有根区间为?； ,?512256256512??93559?2393?f()?e1024??0，有根区间为?； ,?1024512?2561024?9347从而x*?12393185(?)??0.090332，共二分10次。 2256102420482）使用迭代法xk?12?exk2?e02?e0.1??0.1，x2??0.0894829， ，则x1?1010102?e0.08948292?e0.0906391x3??0.0906391，x4??0.0905126， 1010即x*?x4?0.0905126，共迭代4次。 4. 给定函数f(x)，设对一切x，f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围0???2/M内的任意定数?，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)?0的根x*。 [证明]由xk?1?xk??f(xk)可知，令?(x)?x??f(x)，则??(x)?1??f?(x)，又因为0?m?f?(x)?M，0???格式收敛。 5.用斯特芬森迭代法计算第2题中（2）和（3）的近似根，精确到10?5。 斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。 6.设?(x)?x?p(x)f(x)?q(x)f2(x) ，试确定函数p(x)和q(x)，使求解f(x)?0且以?(x)为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。 7. 用下列方法求f(x)?x3?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x*?1.87938524?，要求计算结果准确到四位有效数字。 2，所以1???(x)??1，即??(x)?1，从而迭代M（1）牛顿法 （2）弦截法，取x0?2,x1?1.9 （3）抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2 [解]1）xk?133f(xk)xk?3xk?12xk?1，x0?2， ?xk??xk??22f?(xk)3xk?33xk?31732()?1105552?23?1179x???1.87945，迭代停止。 x1???1.888889，217256163?22?393()?39f(xk)xk?1?xk?(xk?xk?1)f(xk)?f(xk?1)x0?2，2），3xk?3xk?1xkxk?1(xk?xk?1)?1?xk?3(x?x)?kk?1322(xk?3xk?1)?(xkxk?xkxk?1?xk?1?3xk?1?1)?1?3x1?1.9，x2?1.9?2?(1.9?2)?115.821582???1.881094 8411.92?1.9?2?22?38.4115821582?1.9?(?1.9)?1841841x3?158221582()??1.9?1.92?3，迭代停止。 8418419558143.42?84121026542442???1.87941154620432115822?1582?1.9?841?0.61?84123）xk?1?xk?f(xk)????4f(xk)f[xk,xk?1,xk?2]2，其中 ??f[xk,xk?1]?f[xk,xk?1,xk?2](xk?xk?1)，x0?1,x1?3,x2?2，故 f(x0)??3，f(x1)?17，f(x2)?1，f[x0,x1]?f(x1)?f(x0)17?(?3)??10， x1?x03?1f[x2,x1]?f(x2)?f(x1)1?17??16， x2?x12?3f[x1,x2]?f[x0,x1]16?10??6，??16?6(2?3)?10， x2?x02?11?2?110?76?1.9465745，下略。 f[x0,x1,x2]?x3?2?10?10?4?1?62 8. 分别用二分法和牛顿法求x?tanx?0的最小正根。 ?时，x单调递增，tanx单调递减，趋于负无穷。2?在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于. 23??当x接近且大于时，函数值为正，当x接近且大于时，函数值为负。因此，22?3?最小正根区间为（,）,选择x1=2,函数值为<0,选择x2=，函数值为>0 22解：0是函数的一个根，0～按二分法计算，略，x*?4.493424。 按牛顿迭代法，其迭代公式为 xk?1?xk??x?tanxk?f(xk)?xk?kf?(xk)?1?ctanxk?*，取初始值x=，得x?4.493424 9. 研究求a的牛顿公式xk?1?1a(xk?),2xkx0?0，证明对一切k?1,2,?，xk?a且序列x1,x2,?是递减的。 证： (xk?a)21a显然，xk?0，又因为xk?1?a?(xk?)?a??0，所以2xk2xka?xk1axk?a,k?1,2,?，又xk?1?xk?(xk?)?xk??0，所以序列是递2xk2xk2减的。 10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f?(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2收敛到?f??(x*)/(2f?(x*))，这里x*为f(x)?0的根。 证： Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2?f(xk?1)/f?(xk?1) ?2(?f(xk?2)/f?(xk?2))Rk?1?(xk?1?xk)/(xk?xk?1)2?f(xk)/f?(xk) ?2(?f(xk?1)/f?(xk?1))Rk?1?Rk??f(xk)/f?(xk)?f(xk?1)/f?(xk?1)? 22??(?f(xk?1)/f(xk?1))(?f(xk?2)/f(xk?2))2x??11. 用牛顿法（）和求重根迭代法（）计算方程f(x)??sinx???0 的一个近2??似根，准确到10?5 ，初始值x0?牛顿法（），m=2。 ?2 。 xk??sinx?k??f(xk)2??xk?1?xk?m?xk?xk??1?f?(xk)?sinx?cosx?kk? ???22?????5需要计算到10，取??3.1415926。x*?x(7)?1.8955 2求重根迭代法（） xk?1?xk?f(xk)f?(xk)[f?(xk)]2?f(xk)f??(xk)2?sinx?0.5x??2?sinx?0.5x??cosx?0.5?? ?22?2?sinx?0.5x??cosx?0.5????sinx?0.5x???2sinx?cosx?0.5???510需要计算到，取??3.1415926。x*?x(13)?1.8955。 注：matlab编程计算得出的结果。 12. 应用牛顿法于方程x3?a?0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。 f(xk)xk3?a1?a?xk?1?xk??xk???2xk?2?f?(xk)3xk23?xk? f(xk)1?a??xk??2xk?2??xkf?(xk)3?xk?xka?xk3a???23xk33xk2 xk?1?xk?xk?a?xk3xk?1?xk??023x?a3xk当0时，，说明迭代数列递增。