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nn(2) bn?an?2?n?2,故Tn?1?21?2?22?...?n?2n??1?2?...?n??21?22?...2n

???n?n?1?2?2?1?2n?1?2?n?n?1?2?2?2n?1?.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.

19．如图，在平行四边形ABCD中，AD?2AB，?A?60?.现沿对角线BD将?ABD折起，使点A到达点P.点M、N分别在PC、PD上，且A、B、M、N四点共面.

（1）求证：MN?BD；

（2）若平面PBD?平面BCD，平面BMN与平面BCD夹角为30°，求PC与平面BMN所成角的正弦值.

【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】

(1)本题首先可以设AB?2，通过题意即可得出AD的长，然后根据余弦定理即可计算出BD的长并根据勾股定理判断出AB?BD，最后根据线面平行的相关性质即可得出AB//MN并证得MN?BD； (2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出PC与平面BMN所成角的正弦值。 【详解】

15 5

21

（1）不妨设AB?2，则AD?4，

在?ABD中，根据余弦定理可得BD2?AB2?AD2?2AB?AD?COSA，计算得BD?23， 因为AB2?BD2?4?12?16?AD2，所以AB?BD.

因为CD//AB，且A、B、M、N四点共面，所以CD//平面ABMN. 又平面ABMN?平面PCD?MN，所以CD//MN. 而CD?BD，故MN?BD.

（2）因为平面PBD?平面BCD，且PB?BD，所以PB?平面BCD，PB?AB， 因为AB?BD，所以AB?平面PBD，BN?AB，

因为BD?AB，平面BMN与平面BCD夹角为30?，所以?DBN?30?， 从而在Rt?PBD中，易知N为PD的中点， 如图，建立空间直角坐标系，

则B?0,0,0?，P?0,0,2?，C2,23,0，N0,3,1，M1,3,1，

??????uuuruuuruuuurNM??1,0,0?，BN?0,3,1，PC?2,23,?2，

????rruuuu?r?n?NM?0n?x,y,z设平面BMN的一个法向量为??，则由?ruuur，

??n?BN?0?r?x?0得?，令y?1，得n?0,1,?3. ??3y?z?0??rruuun?PC15?r?设PC与平面BMN所成角为?，则sin??cos90???ruuu。

5n?PC??【点睛】

本题考查解析几何的相关性质，主要考查线线垂直的证明以及线面所成角的正弦值的求法，考查数形结合思想，考查平面的法向量的使用，考查空间向量在解析几何中的使用，是中档题。 20．某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：

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每分钟跳绳个数 得分

[145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,??) 16 17 18 19 20 年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.

（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）

（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X近似服从正态分布N?,??2?，其

中?2?225，?为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：

（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；

（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为?，求随机变量?的分布列和数学期望与方差.

附：若随机变量X服从正态分布N?,??2?，则P(????X????)?0.6826，

P(??2??X???2?)?0.9554，P(??3??X???3?)?0.9974.

【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解．

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3329；（2）（i）1683；（ii）,.

24550（2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解． 【详解】

（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A，则事件A包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.

由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，

则由古典概型的概率计算公式可得P(A)?C2211116?C12?C6C12?C6C18C2?29. 100550所以两人得分之和小于35的概率为

29550. （2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数X的估计值为：

X?(0.006?150?0.012?160?0.018?170?0.034?180?0.016?190?0.008?200?0.006?210)?10?179（个）.

又由?2?225，得标准差??15，

所以高二年级全体学生的跳绳个数X近似服从正态分布N?179,152?.

（i）因为????179?15?164，所以P(X?164)?1?1?0.68262?0.8413， 故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为

2000?0.8413?1682.6?1683（人）.

（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为12， 所以?~B??3,1???2?，?的所有可能的取值为0，1，2，3.

03所以P(??0)?C03???1???????1?1?2?1??8， ?22P(??1)?C11?1?33?2???1?2???8，

21P(??2)?C23???1???????1?1?2???38，

?230P(??3)?C3?1??1?13??2???1?2??，

????8

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故?的分布列为：

? P 0 1 3 82 3 83 1 81 81?1?313D(?)?3???1???. 所以E(?)?3??，

2?2?422【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题．

21．在直角坐标系xOy中，点P到两点（0,?3），（0,3）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx+1与A交于A，B两点. （1）写出C的方程；

uuuruuur（2）若OA?OB，求k的值.

1y2【答案】（1）x?（2）± ?1；

242

【解析】 【分析】

（1）根据已知条件可判断动点轨迹为椭圆，结合题意写出椭圆方程即可； （2）联立直线方程与椭圆方程，根据韦达定理以及向量垂直，即可求得参数k. 【详解】

（1）设P（x,y），由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以（0,?3），（0,3）为焦点，长半轴为2的椭圆. 它的短半轴b?4?3?1，

2y故曲线C的方程为x2??1.

4（2）设A（x1,y1），B（x2,y2），

?2y2?1?x?其坐标满足?， 4?y?kx?1?

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