宝宝宝宝牛牛牛你你你(三)函数与导数(1)
1．(2018·江南十校模拟)设f(x)＝xln x－32ax2
＋(3a－1)x.
(1)若g(x)＝f′(x)在[1,2]上单调，求a的取值范围； (2)已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围． 解 (1)由f′(x)＝ln x－3ax＋3a， 即g(x)＝ln x－3ax＋3a，x∈(0，＋∞)，
g′(x)＝1
x－3a，
①g(x)在[1,2]上单调递增， ∴1
x－3a≥0对x∈[1,2]恒成立，
即a≤1
3x对x∈[1,2]恒成立，
得a≤16
；
②g(x)在[1,2]上单调递减， ∴1
x－3a≤0对x∈[1,2]恒成立，
即a≥1
3x对x∈[1,2]恒成立，
得a≥13
，
由①②可得a的取值范围为??1?－∞，6???∪??1?3，＋∞???
.
1
宝宝宝宝牛牛牛你你你(2)由(1)知，
①当a≤0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意； ②当0 3a>1， 又f′(x)在??1?0，3a??? 上单调递增， ∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，x∈???1，1?3a??时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在???1，13a??? 上单调递增， f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意； ③当a＝11 3时，3a＝1，f′(x)在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减， ∴x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意； ④当a>13时，0<1 3a<1， 当x∈? ?1?3a，1??? 时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴f(x)在x＝1处取得极大值，不符合题意． 综上所述，可得a的取值范围为??1? －∞，3???. 2．(2018·河南省郑州外国语学校调研)已知函数f(x)＝aln x－ex. (1)讨论f(x)的极值点的个数； (2)若a∈N* ，且f(x)<0恒成立，求a的最大值． 参考数据： x 1.6 1.7 1.8 ex 4.953 5.474 6.050 ln x 0.470 0.531 0.588 (1)根据题意可得f′(x)＝axa－xex解 x－e＝x(x>0)， 2 宝宝宝宝牛牛牛你你你当a≤0时，f′(x)<0，函数是减函数，无极值点； 当a>0时，令f′(x)＝0得a－xex＝0，即xex＝a， 又y＝xex在(0，＋∞)上是增函数， 且当x→＋∞时，xex→＋∞， 所以xex＝a在(0，＋∞)上存在一解，不妨设为x0， 所以函数y＝f(x)在(0，x0)上单调递增， 在(x0，＋∞)上单调递减， 所以函数y＝f(x)有一个极大值点，无极小值点． 综上，当a≤0时，无极值点； 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，无极小值点．(2)因为a∈N* >0， 由(1)知，f(x)有极大值f(x0)， 且x0满足x0ex0＝a，① 可知f(x)max＝f(x0)＝aln x0－ex0， 要使f(x)<0恒成立， 即f(x0)＝aln x0－ex0<0，② 由①可得ex0＝ax， 0 代入②得aln xa0－x<0， 0 即a??? ln x10－x?0 ?? <0， 因为a∈N* >0，所以ln x10－x<0， 0 因为ln 1.7－11.7<0，ln 1.8－1 1.8>0， 且y＝ln x1 0－x在(0，＋∞)上是增函数． 0 设m为y＝ln x1 0－x的零点， 0