《数学奥林匹克专题讲座》三 下载本文

数字问题一直是中小学数学竞赛中的热门问题,解这类问题一般要用到整数的性质及解整数问题的常用方法,如数的整除性、剩余类、奇偶分析、尾数的性质等。有时还得用解竞赛题的一些技巧,如筛选、排除、枚举、局部调整、从极端考虑等。

有一类特殊的数字问题,它们的条件与1到9这9个数字或0到9这10个数字有关,这就增加了题目的趣味性。解这类题目,要注意利用题目条件中有9个或10个不同数字这一条件,另外这9个或10个数字之和是9的倍数这个特点,也很有用。

例1 在下式中的每两个相邻数之间都添上一个加号或减号,组成一个算式。要求算式运算结果等于37,且这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能的大。

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

那么,这些减数的最大乘积是多少?

解:把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中1个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么结果将要减少这个数的2倍。

因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是

18÷2=9。

对于大于2的数来说,两数之和总比两数乘积小。为了使这些数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包括1)。9最多可拆成三数之和2+3+4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24。添上加、减号的算式是:

10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。

例2 我的岁数的3次方是一个四位数,我的岁数的4次方是一个六位数,要组成这两个数,需要用遍0到9这10个数字。

我爷爷的岁数的平方是一个四位数,他的岁数的3次方是一个六位数,要组成这两个数字,也要用遍0到9这10个数字。

问:我和爷爷的年龄各是多少?

解:设我的年龄x。注意到223=10648和174=83521是五位数,故应有17<x<22。取x等于18,19,21(x显然不应等于20),逐一计算他们的3次方与4次方,经验证,只有18合乎题意:183=5832,184=104976。故x=18。

同理可以得到爷爷的年龄是69岁,验证如下:

692=4761,693=328509。

例3 将1~9这9个数字填入下面方格中,且使积P最小:

P=□□□×□□□×□□□。

9的一个排列。为使P最小,显然a1,a4,a7是1,2,3的一个排列,不妨设a1=1,a4=2,a7=3。

又a2,a5,a8是4,5,6的一个排列。逐一计算

14×25×36,15×24×36,14×26×35,

15×26×34,16×24×35,16×25×34,

可知14×25×36是六个积中最小的一个。

故知a2=4,a5=5,a8=6。

如果我们掌握了下面的性质,“两数和为定值时,两数的积随着这两数差的减少而增大”的话,那么上述验证的解法可以简化如下:对于积14×25×36,任意变换两个乘数的个位

数字,都会使两乘数的和不变而差减少,从而它们的积也增大,故14×25×36是最小的。最后a3,a6,a9是7,8,9的一个排列,用类似的方法得a3=7,a6=8,a9=9时,P=147×258×369积最小。

例4 能否将自然数1~10填入右图所示的五角星各交点的“○”中,使每条直线上的四个数字之和都相等?

解:假定能够做到,注意到在计算数字和时,每一个数都被计算了2次,则每条直线上4个数字的和等于

(55×2)÷5=22。

考虑相交于10的两条直线,可知10与1在同一条直线上,否则这两直线的数字和不小于

2×10+(2+3+4+5+6+7)=47。

设与10不在同一条直线上的三个数为x,y,z,则

x+y+z=55-2×22+10=21。

又设x,y,1,u在同一条直线上,则x+y+U+1=22,即x+y+u=21,z=u矛盾。故满足题设的填法是不存在的。

例5 用1,2,…,9这9个数字,最多能组成多少个平方数?要求每个数字都要用一次且只能用一次。

解:一位平方数有3个:1,4和9。剩下6个数字中2和5,3和6可组成2个平方数25和36,但7和8不能组成平方数。注意到784=282,故一共可组成5个平方数:

1,9,25,36,784。

例6 用1,2,…,9这9个数字排成没有重复数字的九位数,一共可以排多少个?这些数的最大公约数是多少,

解:根据乘法原理,一共可以排成

9×8×7×6×5×4×3×2×1=362880(个)

没有重复数字的九位数。因为其中每个九位数的数字和都是45,45是9的倍数,所以每个九位数都是9的倍数。而九位数987654321和987654312的差为9,故它们的最大公约数应是9。

例7 左下图中有3个等边三角形和3条通过4个点的直线。请你将1到9这9个自然数写到9个黑点旁,使得每个等边三角形顶点3个数字之和相等,又要使得每条直线上的4个数字之和相等。

解:3个三角形上的数字都是不同的,它们的数字之和相等,因此每个三角形上的数字之和等于45÷3=15。由此我们可以认为,3个三角形上的数字,恰好是纵横图上3条横行,或者3条纵列(见右上图)。本题要对照三阶纵横图求解。

把3条直线上所有数字相加,中间小三角形上数字要算2次,因此相加之和应是45+15=60,即每条直线上 4个数字之和应等于20。

解题的关键是确定中间小三角形上应是哪三个数。譬如,它是2,7,6,那么7和6所在的直线上另外2个数字之和应是20-7-6=7,可是在三阶纵横图其他两条纵列上,每列各取一数相加之和是不能等于7的。对于(4,3,8)(2,9,4)和(6,1,8)作同样考察,都会得到与(2,7,6)一样的情况。当中间小三角形上的3个数是1,5,9时,

有5+9+4+2=20, 1+9+3+7=20和1+5+8+6=20,得到一个解(见左下图)。当中间小三角形上的3个数是7,5,3时,得到另一个解(见右下图)。

例8 能否在圆周上放置0,1,2,…,9这10个数字,使得任何两个相邻数的差为3,4或5?

解:因为0,1,2,8,9这5个数中的任何两个都不能排在一起(否则相邻数之差不是3,4或5),故它们之间都应隔着一个数。但此时其余的5个位置上都不能放置7,无论将7放到哪里,它都会与一个相邻数的差不是3,4或5中的一个。故满足题意的放置方法是没有的。

说明:一般而言,将0~n这n+1个数放置到圆周上,使任何两数之差为3,4或5的问题,在n≤12时无解,在n≥13时有解,下图是n=14时的一种放置方法。

例9 已知a1,a2,…,a10是0,1,2,…,9的一个排列,a1,a2a3,a4a5a6,a7a8a9a10,都是平方数,写出它们的全部解。

解:本题宜采用穷举与淘汰相结合的方法来解。先写出1~99这99个数的平方,删去其中有重复数字的平方数,如122=144等,在剩下的数中进行适当的组合,可以得到四个解:

(1)12=1,62=36,282=784,952=9025。 (2)32=9,92=81,242=576,482=2304。 (3)32=9,92=81,182=324,842=7056。