25.3 用频率估计概率

知识要点基础练

知识点1 频率与概率的关系

1.在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,下列说法正确的是(D) A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的,与频率无关

D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率 2.下列说法正确的有(D)

A.在一次抛掷硬币的试验中,甲同学说:“我只做了10次试验就得到了正面朝上的概率为30%”

B.某同学做了400次抛掷两枚硬币的试验,得到“一正一反”的频率为26.7%,如果再做400次,得到的频率仍然是26.7%

C.在投掷一枚均匀的正方体骰子的试验中,小明得到“1点朝上”的概率为,那么他再做300次试验,一定有50次“1点朝上”

D.在抛掷一枚硬币的试验中,小刚为了节约时间,同时抛掷5枚硬币,这样得到的结果不会受到影响

知识点2 用频率估计概率

3.学习了用频率估计概率后,小明要做一次实验,来验证频率是否稳定在概率左右,于是他在不透明的盒子中装有黑、白两种球,这些球除颜色外都相同,其中白球有30个,黑球有m个,

把盒子摇匀后随机地从袋中摸出一个球,记录下颜色后,放回袋子中并摇匀,再次摸出一个球,经过如此大量重复试验,发现摸出白球的频率稳定在0.5附近,则m的值约为(B) A.15

B.30

C.40

D.50

4.一个不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中80次摸到黑球,估计盒中大约有白球 28 个.

【变式拓展】口袋中有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个,小红通过多次摸球试验,发现摸到红球的频率为30%,摸到蓝球的频率是20%,估计这个口袋中大约有 60 个红球, 100 个黄球, 40 个蓝球.

5.【教材母题变式】某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率,对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计,并绘制了如图所示的统计表,根据统计图提供的信息解决下列问题: (1)这种树苗成活的频率稳定在 ,成活的概率估计值为 . (2)该地区已经移植这种树苗5万棵.

①估计这种树苗成活 万棵;

②如果该地区计划成活18万棵这种树苗,那么还需移植这种树苗约多少万棵?

解:(1)0.9,0.9. (2)①4.5.

②18÷0.9-5=15.

综合能力提升练

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6.在一个不透明的布袋中,红球、黑球、白球共有若干个,除颜色外,形状、大小、质地等完全相同,小新从布袋中随机摸出一个球,记下颜色后放回布袋中,摇匀后再随机摸出一个球,记下颜色,…,如此大量摸球试验后,小新发现其中摸出红球的频率稳定在20%,摸出黑球的频率稳定在50%,对此试验,他总结出下列结论:①若进行大量摸球试验,摸出白球的频率稳定在30%;②若从布袋中任意摸出一个球,该球是黑球的概率最大;③若再摸球100次,必有20次摸出的是红球.其中说法正确的是(B) A.①②③

B.①②

C.①③

D.②③

7.在一个不透明的口袋里,装有仅颜色不同的黑球、白球若干个,某小组做摸球实验:将球搅匀后从中随机摸出一个,记下颜色,再放回袋中,不断重复该实验,下表是实验中得到的一组数据,通过该组数据估计摸到白球的概率约是(C)

摸球的次数n 摸到白球的次数m 摸到白球的概率 100 58 0.58 150 96 0.64

A.0.4

B.0.5

C.0.6

D.0.7 200 116 0.58 500 295 800 484 1000 601 0.59 0.605 0.601 8.一果农随机从种植园中抽取适量的猕猴桃进行检测,在多次重复的抽取检测中发现“优质猕猴桃”出现的频率逐渐稳定在0.8,该果农今年猕猴桃的总产量约为900 kg,由此估计该果农今年的“优质猕猴桃”产量约是 720 kg.

9.“π的估计”有很多方法,下面这个随机模拟实验就是一种,其过程如下:如图,随机撒一把米到画有正方形及其内切圆的白纸上,统计落在圆内的米粒数m与正方形内的米粒数n,并计算频率;在相同条件下,大量重复以上试验,当显现出一定稳定性时,就可以估计出π的值为.请说出其中所蕴含的原理: 用频率估计概率 .

10.为了庆祝2018年“元旦”,学校买了一袋子气球,装在一个不透明的袋子中,有红的和蓝的,它们除了颜色外其他都相同,红气球有10个,小明随机摸出一个球记下颜色后放回(每次

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摸球前先将袋中的球摇匀),通过多次重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中蓝球的个数大约为 15 .

11.小明和小兵两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,他们共做了50次试验,试验的结果如下:

朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 6 7 5 7 15 10

(1)计算“5点朝上”的频率和“6点朝上”的频率.

(2)小明说:“根据试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小兵说:“如果投掷500次,那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小明和小兵的说法正确吗?为什么?

(3)小明和小兵各投掷一枚骰子,用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率.

解:(1)根据图表得出“5点朝上”的频数为15,则频率为=0.3, 同理可得“6点朝上”的频率为=0.2.

(2)小明和小兵的说法是错误的.因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大,只有当实验的次数足够大时,该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.事件发生具有随机性,故“6点朝上”的次数不一定是100次. (3)列表(或树状图)略,

P(点数之和为3的倍数)=.

拓展探究突破练

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