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②以下证明对于任意的m,直线AR与直线AQ的交点S均在直线:x?4上．
12事实上，由
1122?x22??y?1?4?x?my?1?，得?my?1?122?4y2?4,即?m?4?y22?2my?3?0，
记R?x,y?,Q?x,y?，则y?y100?设AR与交于点S(4,y),由设AQ与交于点
2?2m?3,yy?12m2?4m2?4y0y16y1?,y0?.4?2x1?2x1?2．
得
S0?(4,y0?),由
y0?y2?,4?2x2?2得y??x2y?2.
202y0?y0??6y?my2?1??2y2?my1?3?4my1y2?6?y1?y2?6y12y2?1??x1?2x2?2?x1?2??x2?2??x1?2??x2?2??12m?12m?22?m?4m?4?0?x1?2??x2?2?， ∴y0?y0?，即S与S?重合，
00这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x?4上．
a
19．解：（1）∵f ?(x)＝2＋≥0对x?[1,＋∞)恒成立，
x
∴2x＋a≥0∴2＋a≥0∴a≥－2．
?x1＋x2?f (x1)＋f (x2)lnx1＋lnx2
?≤（2）f ??a≥222??
x1＋x2x1＋x2aln?lnx1＋lnx2≤2ln
22
x1＋x2x1＋x21
证法一：∵≥x1·x2∴ln≥lnx1·x2＝
222lnx1＋lnx2
ln(x1·x2)＝，得证．
2
?x1＋x2?f (x1)＋f (x2)lnx1＋lnx2
?≤证法二：f ??a≥222??
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x1＋x2x1＋x2
aln?lnx1＋lnx2≤2ln
22
x＋x2
令F(x)＝2ln－lnx－lnx2 ∵F(x2)＝0【要证
2
F(x)的最小值为F(x2)】
x－x221∴F?(x)＝－＝ ∴当x＞x2时，F?(x)
x＋x2xx(x－x2)
＞0，当0＜x＜x2时，F?(x)＜0． ∴F(x)在(0,x2)上单调递减，在(x2,＋∞)上单调递增，∴F(x)min＝F(x2)＝0
x1＋x2
∴F(x)≥0∴F(x1)≥0∴lnx1＋lnx2≤2ln，得2
证．
x2x2
（3）∵f (x)≤(a＋3)x－∴2x＋alnx≤(a＋3)x－
22
x2
∴a(x－lnx)≥－x在[1,e]上有解
2
1x－1
∵(x－lnx)?＝1－＝≥0∴x－lnx在[1,e]上递
xx
增，∴x－lnx≥1－ln1＝1＞0
x2x2－x－x22∴a≥，令g(x)＝∴g?(x)＝
x－lnxx－lnx
x21
(x－1)(x－lnx)－(2－x)(1－)
x
(x－lnx)2
＝x
(x－1)(－lnx＋1)
2
(x－lnx)2
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xxe
∵x∈[1,e]∴x－1≥0，－lnx＋1＝＋ln＞0∴g?(x)
x22
≥0∴g(x)在[1,e]上递增
1
∴a≥g(x)min＝g(1)＝－．
2
20．解：当n?1时，(1??)a???a?3，?a?3
1当n?2时，由(1??)S???a?2且?4?，(1??)S33111nnnn?1???an?1?2n?11?4?33
1?an??an?1?4n2
nna当??4时，①4rs?an?11ana1n?1?(n?2)???n?1n24244即an?(2n?1)?4n?1
bn① 设存在a,a,a成等比数列，则
[(2r?1)?4]?[(2t?1)?4]?(2s?1)?4
（2r?1)(2t?1)?4?(2s?1)由奇偶性知r?t?2s?0 整理得：
?（2r?1)(2t?1)?(r?t?1)?(r?t)?0这与r?t矛盾，所以不存在这样的r,s,t． （2）当时，①??42?42??42?4?a???a???(a?)??b ??4??4??4tr?1t?122s?2r?t?2s222nn?1n?1nn?1n?1n?1??b?是以3??4为首项，?为公比当??4且??4时，数列3??4nnb的等比数列；当??4时，3?0n 不是等比数列．
3??4n?12????4n??4??43??4n?1??n??4a3??4?n2?cn?n??()???44n?(??4)4②由①知b?，从而a
?
cn当??4时，注意到n???时，c?4不成立；
1?
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n???，当n充分大时，
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2??4(3??4)2?0,??0??c?递增,而c当4???4时,?(??4)??43n1?4?cn?03
47只需??2?4????； ?4323?当??4时,c3n?34,符合条件；
4(3??4)2?0,??0??cn?4?当0???4时, 递减,c1?44?0?cn?,
3?(??4)cn?4成立；
综上所述,??(0,72] ??43319·
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