第二章 一元函数微分学及其应用

知识点拔

2.1 导数的概念

一、导数的概念

1、函数f(x)在点x0导数的定义

设函数y?f(x)在x0的某个邻域内有定义，给自变量x0以增量?x，而相应的函数增量为

?y，若极限limf(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?y?y?lim（或写成lim）存在，?lim?x?0?x?x?0?x?0?xx?x0?xx?x0则称函数y?f(x)在点x0可导，并称此极限值为函数f(x)在x0点的导数.

记作：f?(x0),y?x?x0或f(x0??x)?f(x0)dy x?x0，且有f?(x0)?lim?x?0?xdx注释：① 函数在点x0可导必须满足两个条件：

a、f(x)必须在点x0的某个邻域(x0??,x0??)内有定义，如：y?x在x?0不可导，

因在x?0时无定义；

b、极限lim可导.

?y?y必须存在，如：y?x，由于极限lim不存在，所以y?x在x?0不

?x??x?x?0?x② 函数在点x0可导，不能保证函数在点x0的邻域内可导.

?x2,x为有理数,如：f(x)?? 在点x?0处可导，且f?(0)?0，但在x?0时它不可导，

?0,x为无理数，也就是说，或函数f(x)的x0可导，则一定有lim?x?0f(x0??x)?f(x0??x)存在，但是若极限

?x?x?0limf(x0??x)?f(x0??x)存在，也不能说f(x)在x0点可导，因为它不能保证f(x)在x0点

?x有定义.

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③ 几个常用导数定义的等价形式

f?(x0)?limh?0f(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0)；f?(x0)?lim；

h?0h?hf(x0)?f(x0?h)f(x0?2h)?f(x0)；f?(x0)?lim；

h?0h2hf(x0)?f(x0?2h)f(x0?a?h)?f(x0)，一般地有f?(x0)?lim，

h?0?2ha?hf(x0)?f(x0?a?h)（a为常数）；

?a?hf?(x0)?limh?0f?(x0)?limh?0f?(x0)?limh?0其通式为f?(x0)?limh?0f(x0?u(x))?f(x0)，其中u(x)为奇函数.

u(x)2、函数f(x)在区间上的导数定义

如果函数y?f(x)在区间(a,b)内的某一点都可导，则称函数y?f(x)在区间(a,b)内可导，那么对于区间(a,b)内的任一点x，都对应于一个确定的函数值f?(x)，这个新的函数称为函数y?f(x)的导函数，简称：导数，记作：f?(x)、y?、即f?(x)?limdydf(x)、， dxdx?yf(x??x)?f(x)?lim，其中x?(a,b).

?x?0?x?x?0?x注释：函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)是导函数f?(x)在点x?x0处的函数值，即

f?(x0)?f?(x)x?x，但f?(x0)?[f(x0)]?.

0二、导数的几何意义 1、几何意义

可导函数y?f(x)在x0点的导数f?(x0)是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率. 2、切线方程与法线方程

曲线y?f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为：y?y0?f?(x0)(x?x0)； 曲线y?f(x)在点(x0,f(x0)处的法线方程：y?y0??

2

1(x?x0).

f?(x0)三、左右导数的概念 1、左右导数的定义

?(x0)?lim?右导数：f??x?0f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)； ?lim?x?x?xx?x00f(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)； ?lim?x?x0?xx?x0?(x0)?lim?左导数；f??x?02、可导的充要条件

?(x0)?f??(x0)，即左、右导数存在且相等. 定理 f(x)在x0可导?f?注释：该定理主要用于讨论分段函数在分段点处的导数是否存在. 四、可导与连续的关系

定理 如果函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续，反之不成立.

注释：① 若函数在某一点连续，但函数在该点不一定可导，如y?x在x?0连续，但在

x?0不可导，即函数在某点连续是它在该点可导的必要条件.

?x2,x为有理数,② 函数在点x0可导，不能得到它在点x0的某个邻域内连续，如：f(x)???0,x为无理数，在x?0可导，且在x?0连续，但在x?0的任何点都不连续.

1?2?xcos,x?0,③ 函数在x0处可导，不能得到它的导函数在x0点连续，如：f(x)??在x?x?0?0,1??2xcosx?sin,x?0x?0可导，但f?(x)??在x?0不连续. x?x?0?0,2.2 一元函数的求导法则

一、基本初等函数的求导公式（略）

二、导数的四则运算法则

定理 设函数u(x)与v(x)在点x处都可导，则

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