连续时间周期信号的频谱分析
3 连续时间周期信号的频谱分析
3.1单边与双边频谱关系
如前所述，周期信号可以分解成一系列正弦（余弦）信号或虚指数信号之和，为了直观地表示出信号所含各分量的振幅An或|Fn|，随频率的变化情况，通常以角频率为横坐标，以各次谐波的振幅An或虚指数函数|Fn|的幅度为纵坐标，画出如图3.1和3.2所示的各谐波的振幅An或|Fn|与角频率的关系图，称为周期信号的幅度（振幅）频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱线。各谱线顶点连线的曲线（如图中原点所示）称为频谱包络线，它反映了各谐波分量幅度随频率变化的情况。图3.1中幅度谱为单边幅度谱（用An绘制的频谱）。图3.2中幅度谱为双边幅度谱（用|Fn|绘制的频谱）。
类似地，也可画出各谐波初相角?n与角频率的关系图，如图3.1和3.2中各谐波初相角?n与角频率的关系图，称为相位频谱，简称相位谱。图3.1中相位谱为单边相位谱。图3.2中相位谱为双边相位谱。如果Fn为实数，那么可用Fn的正负来表示?n为0或?也可把幅度谱和相位谱画在一张图上。
由图可见，周期信号的谱线只出现在频率为0,?,2?,...等原周期信号频率的整数倍的离散频率上，即周期信号的频谱是离散谱。
10.50-200.10.05050-15-10-505101520050100150-5050100150
图3.1 周期信号的单边幅度谱和相位谱
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10.50-200.10.050-150420-2-4-150-100-50050100150-15-10-505101520-100-50050100150
图3.2 周期信号的双边幅度谱和相位谱
由此可见周期信号频谱具有三个特点： （1）离散性，即谱线是离散的；
（2）谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上； （3）收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小[3]。
单边频谱和双边频谱的区别就是求值的范围不同，单边频谱求的是频率大于0的情况，而双边频谱求的是所有频率的情况，即包括频率小于0的情况，这个区别在上面的两张图中可以非常明显地看出来。
3.2以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系
首先令方波首期T=5。改变脉冲宽度，就是在图3.3中T值不变的情况下，改变的τ值的大小，同时τ必须小于T。在MATLAB软件里可以比较方便地改变这个值。xsqual=@(x)1/2.*(x==-1/2)+1.*(x>-1/2&x<1/2)+1/2.*(x==-1/2);这个语句是控制τ值的，现在的参数是1/2。下面是比较三种不同τ值的矩形脉冲单边频谱图像。
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图3.3 不同τ值时的频谱
容易看出，在T不变的情况下，减小τ值，可以使频谱变得更密集，增大τ值则可以使频谱变得稀疏，因此，需要在不同的情况下选择不同的τ值，才能是系统变得更加符合实际需要。由于周期T相同，因而相邻谱线的间隔相同；脉冲宽度窄，其频谱包络线第一个零点的频率愈高，即信号带宽愈宽，频带内所含的分量愈多。可见，信号的频带宽度与脉冲宽度τ成反比[2]。
3.3以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系
上面是改变τ值来观察频谱的变化情况，现在来改变T值以达到改变频谱的目的。在
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MATLAB代码中a=-5;b=5;T0=b-a;这几句代码是用来控制方波的T值的，b-a就是方波的周期T，在上面的讨论中使用的参数是a=-5,b=5，现在将τ的参数，即这句xsqual=@(x)1/2.*(x==-1/2)+1.*(x>-1/2&x<1/2)+1/2.*(x==-1/2)固定为1/2，然后分别将a,b值变为：a=-4,b=4和a=-6,b=6，来研究方波周期对其频谱的影响。
图3.4 不同T值的频谱
通过观察以上三个图像中第一个零点的位置，不难看出：当方波的周期越大，频谱就越密集，周期越小，频谱就越稀疏，其实这点也不难理解。因为τ值不变，改变T值就等于改变了T=ατ中比例系数α的大小。由于周期脉冲信号的时域宽度不变，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期增长时，相邻谱线的间隔减少，频谱变密。如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，相邻谱线的间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。随着周期的增长，各谐波分量的幅度也相应减少。脉冲周期T 愈大，谱线间隔愈小，频谱越稠密；反之，则越稀疏。
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典型周期脉冲的频谱
4 典型周期脉冲的频谱
4.1 周期方波脉冲频谱的MATLAB实现
周期方波脉冲信号如图4.1所示，其幅度为1，脉冲宽度‘占空比’：duty=0.5，周期T=5。
周期方波脉冲10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-10-8-6-4-20246810
图4.1 周期方波脉冲
编写fangbo.m函数文件，源程序文件见附录程序四。调用函数fangbo.m，即可绘出方波脉冲的双边频谱，其中周期T和占空比duty可变，修改程序即可得到单边频谱。将在下一小节中给出不同参数时的频谱图。
4.1.1 周期方波脉冲双边频谱的MATLAB实现
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