高考理科数学全国1卷(2016-2018共3套真题)及参考答案 下载本文

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C?的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C?的极坐标方程为

(1) 求C?的直角坐标方程:

(2) 若C?与C?有且仅有三个公共点,求C?的方程.

23. [选修4-5:不等式选讲](10分)

已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣.

(1) 当a=1时,求不等式f(x)﹥1的解集;

(2) 若x∈(0,1)时不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范围.

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2 +2cos -3=0.

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 1.C 7.B

二、填空题 13.6

三、解答题 17.解:

(1)在△ABD中,由正弦定理得由题设知,

BDAB. ?sin?Asin?ADB

2.B 8.D

3.A 9.C

4.B 10.A

5.D 11.B

6.A 12.A

14.?63 15.16 16.?33 2252. ?,所以sin?ADB?5sin45?sin?ADB

由题设知,?ADB?90?, 所以cos?ADB?1?223. ?255(2)由题设及(1)知,cos?BDC?sin?ADB?在△BCD中,由余弦定理得

BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC?25?8?2?5?22??25.252. 5

所以BC?5. 18.解:

(1)由已知可得,BF?PF,BF?EF,所以BF?平面PEF. 又BF?平面ABFD,所以平面PEF?平面ABFD.

(2)作PH?EF,垂足为H. 由(1)得,PH?平面ABFD.

uuuruuur以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 由(1)可得,DE?PE. 又DP?2,DE?1,所以PE?3. 又PF?1,EF?2,故PE?PF.

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可得PH?33,EH?. 22

uuuruuur33333则H(0,0,0),P(0,0,), D(?1,?,0),DP?(1,,),HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量.

222223uuuruuurHP?DP3设DP与平面ABFD所成角为?,则 sin??|uuu. ruuur|?4?43|HP||DP|所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 19.解:

(1)由已知得F(1,0),l的方程为x?1. 由已知可得,点A的坐标为(1,所以AM的方程为y??22). )或(1,?223. 4

22x?2或y?x?2. 22

(2)当l与x轴重合时,?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以?OMA??OMB.

x2?2,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y?k(x?1)(k?0),则x1?2,B(x2,y2),A(x1,y1),

直线MA,MB的斜率之和为kMA?kMB?由y1?kx1?k,y2?kx2?k得

kMA?kMB?y1y2. ?x1?2x2?22kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)

x2将y?k(x?1)代入?y2?1得

2(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.

4k22k2?2所以,x1?x2?2. ,x1x2?22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k??0.

2k2?1从而kMA?kMB?0,故MA,MB的倾斜角互补. 所以?OMA??OMB. 综上,?OMA??OMB.

20.解:

218(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C220p(1?p). 因此 18217217 f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).

令f?(p)?0,得p?0.1. 当p?(0,0.1)时,f?(p)?0;当p?(0.1,1)时,f?(p)?0.所以f(p)的最大值点

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为p0?0.1.

B(180,0.1),X?20?2?25Y,即

(2)由(1)知,p?0.1.

(ⅰ)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YX?40?25Y.

所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.

(ⅱ)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400,故应该对余下的产品作检验. 21.解:

1ax2?ax?1(1)f(x)的定义域为(0,??),f?(x)??2?1???.

xxx2(ⅰ)若a≤2,则f?(x)≤0,当且仅当a?2,x?1时f?(x)?0,所以f(x)在(0,??)单调递减. a?a2?4a?a2?4(ⅱ)若a?2,令f?(x)?0得,x?或x?.

22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时,f?(x)?0; 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时,f?(x)?0. 所以f(x)在(0,),(,??)单调递减,当x?(2222a?a2?4a?a2?4,)单调递增. 在(22

(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2?ax?1?0,所以x1x2?1,不妨设x1?x2,则x2?1. 由于 f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21, ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以

f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.

x1?x2x2

设函数g(x)?g(x)?0.

1?x?2lnx,由(1)知,g(x)在(0,??)单调递减,又g(1)?0,从而当x?(1,??)时,x所以

f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0,即?a?2. x2x1?x2

22.解:

(1)由x??cos?,y??sin?得C2的直角坐标方程为

(x?1)2?y2?4. (2)由(1)知C2是圆心为A(?1,0),半径为2的圆.

由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共

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点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|?k?2|4?2,故k??或k?0. 经检

3k2?14验,当k?0时,l1与C2没有公共点;当k??时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

3当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以验,当k?0时,l1与C2没有公共点;当k?4综上,所求C1的方程为y??|x|?2.

3|k?2|k2?1?2,故k?0或k?4. 经检34时,l2与C2没有公共点. 3

23.解:

??2,?(1)当a?1时,f(x)?|x?1|?|x?1|,即f(x)??2x,?2,?x≤?1,?1?x?1, x≥1.1故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}.

2

(2)当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立. 若a≤0,则当x?(0,1)时|ax?1|≥1; 若a?0,|ax?1|?1的解集为0?x?综上,a的取值范围为(0,2].

22,所以≥1,故0?a≤2. aa

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