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2017年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国1卷）

本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将

试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x?1}，则 A．AC．AB?{x|x?0} B?{x|x?1}

B．AD．AB?R B??

2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部

分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

1A．

41C．

2

B．D．

π 8π 43．设有下面四个命题

1p1：若复数z满足?R，则z?R；

zp2：若复数z满足z2?R，则z?R；

11

p3：若复数z1,z2满足z1z2?R，则z1?z2； p4：若复数z?R，则z?R.

其中的真命题为 A．p1,p3

B．p1,p4

C．p2,p3

D．p2,p4

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，S6?48，则{an}的公差为

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函数f(x)在(??,??)单调递减，且为奇函数．若f(1)??1，则满足?1?f(x?2)?1的x的取值范围是 A．[?2,2] 6．(1?

B．[?1,1]

C．[0,4]

D．[1,3]

126展开式中的系数为 x)(1?x)2x

B．20

C．30

D．35

A．15

7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10

B．12

C．14

D．16

和

两个空白框中，可以分别填入

8．右面程序框图是为了求出满足3n?2n>1000的最小偶数n，那么在

A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2 C．A?1 000和n=n+1 D．A?1 000和n=n+2

12

9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+

2π)，则下面结论正确的是 3π个单位长度，得6A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的到曲线C2

π个单位长度，得121π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得261π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得21210．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直

线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16

B．14

C．12

D．10

11．设xyz为正数，且2x?3y?5z，则

A．2x<3y<5z

B．5z<2x<3y

C．3y<5z<2x

D．3y<2x<5z

12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数

学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440

B．330

C．220

D．110

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .

?x?2y?1?14．设x，y满足约束条件?2x?y??1，则z?3x?2y的最小值为 .

?x?y?0?x2y215．已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线

abC的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。

16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O

上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以

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BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

a2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

3sinA（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长. 18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且?BAP??CDP?90.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，?APD?90，求二面角A-PB-C的余弦值. 19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

N(?,?2)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(??3?,??3?)之外的零件数，求P(X?1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.19.96 9.96

14

10.09.92 9.98 10.0

2

10.26

9.91

10.13

10.02

1 9.22

10.04

10.05

4 9.95

11611611622xi?9.97，s?经计算得x?(xi?x)?(?xi?16x2)2?0.212，其中xi为抽取??16i?116i?116i?1的第i个零件的尺寸，i?1,2,???,16．

?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计值判断是否需对当用样本平均数x作为?的估计值???3??,???3??)之外的学科网数据，用剩下的数据估计?和?（精确到天的生产过程进行检查？剔除(?0.01）．

2附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?)，则P(??3??Z???3?)?0.997 4，

0.997 416?0.959 2，0.008?0.09．

20.（12分）

33x2y2已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三

22ab点在椭圆C上. （1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

21.（12分）

2xx

ae+(a2) e已知函数（﹣﹣x. fx)?（1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?3cos?,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方程为

y?sin?,??x?a?4t,（t为参数）. ?y?1?t,?（1）若a=?1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

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