北京中考数学专题复习反比例函数的综合题 下载本文

(1)求直线AB和反比例函数的解析式;

(2)观察图象,直接写出当x满足什么范围时,直线AB在双曲线的下方;

(3)反比例函数的图象上是否存在点C,使得△OBC的面积等于△OAB的面积?如果不存在,说明理由;如果存在,求出满足条件的所有点C的坐标. 【答案】(1)解:设反比例函数解析式为y= , 把B(﹣2,﹣3)代入,可得k=﹣2×(﹣3)=6, ∴反比例函数解析式为y= ; 把A(3,m)代入y= ,可得3m=6, 即m=2, ∴A(3,2),

设直线AB 的解析式为y=ax+b,

把A(3,2),B(﹣2,﹣3)代入,可得 解得

∴直线AB 的解析式为y=x﹣1

(2)解:由题可得,当x满足:x<﹣2或0<x<3时,直线AB在双曲线的下方 (3)解:存在点C.

如图所示,延长AO交双曲线于点C1 ,

∵点A与点C1关于原点对称, ∴AO=C1O,

∴△OBC1的面积等于△OAB的面积, 此时,点C1的坐标为(﹣3,﹣2);

如图,过点C1作BO的平行线,交双曲线于点C2 , 则△OBC2的面积等于△OBC1的面积, ∴△OBC2的面积等于△OAB的面积,

由B(﹣2,﹣3)可得OB的解析式为y= x, 可设直线C1C2的解析式为y= x+b',

把C1(﹣3,﹣2)代入,可得﹣2= ×(﹣3)+b', 解得b'= ,

∴直线C1C2的解析式为y= x+ ,

解方程组

,可得C2(

);

如图,过A作OB的平行线,交双曲线于点C3 , 则△OBC3的面积等于△OBA的面积, 设直线AC3的解析式为y= x+

, ,

把A(3,2)代入,可得2= ×3+ 解得

=﹣ ,

∴直线AC3的解析式为y= x﹣ ,

解方程组

,可得C3(

); ()

).

综上所述,点C的坐标为(﹣3,﹣2),(

【解析】【分析】(1)用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程(组)求出系数,再回代到解析式

(2)结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B,X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标,第一象限为为小于横坐标大于零,第三象限为小于横坐标

(3)结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形,再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式,得出点的坐标,注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。

8.【阅读理解】

我们知道,当a>0且b>0时,(

)2≥0,所以a﹣2

+≥0,从而a+b≥2

(当a=b时取等号),

【获得结论】设函数y=x+ (a>0,x>0),由上述结论可知:当x= 即x= y有最小值为2

(1)【直接应用】

若y1=x(x>0)与y2= (x>0),则当x=________时,y1+y2取得最小值为________. (2)【变形应用】

若y1=x+1(x>﹣1)与y2=(x+1)2+4(x>﹣1),则 的最小值是________ (3)【探索应用】

在平面直角坐标系中,点A(﹣3,0),点B(0,﹣2),点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点,过P点作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,设点P的横坐标为x,四边形ABCD的面积为S

①求S与x之间的函数关系式;

②求S的最小值,判断取得最小值时的四边形ABCD的形状,并说明理由.

时,函数

【答案】(1)1;2 (2)4

(3)解:①设P(x, ),则C(x,0),D(0, ), ∴AC=x+3,BD= +2,

∴S= AC?BD= (x+3)( +2)=6+x+ ; ②∵x>0, ∴x+ ≥2

=6,

∴当x= 时,即x=3时,x+ 有最小值6,

∴此时S=6+x+ 有最小值12, ∵x=3,

∴P(3,2),C(3,0),D(0,2),

∴A、C关于x轴对称,D、B关于y轴对称,即四边形ABCD的对角线互相垂直平分, ∴四边形ABCD为菱形.

【解析】【解答】解:(1)∵x>0,∴y1+y2=x+ ≥2

=2,∴当x= 时,即x=1时,

=

y1+y2有最小值2,故答案为:1;2;(2)∵x>﹣1,∴x+1>0,∴ = (x+1)+

≥2

=4,∴当x+1=

时,即x=1时, 有最小值

4,故答案为:4;

【分析】(1)直接由结论可求得其取得最小值,及其对应的x的值;(2)可把x+1看成一个整体,再利用结论可求得答案;(3)①可设P(x, ),则可表示出C、D的坐标,从而可表示出AC和BD,再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积,从而可得到S与x的函数关系式;②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值,则可得到P、C、D的坐标,可判断A、C关于x轴对称,B、D关于y轴对称,可判断四边形ABCD为菱形.

9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线

和点

,过点 作

交 轴于点 ,交 轴于点

轴交抛物线于点 .

(1)求此抛物线的表达式;

(2)点 是抛物线上一点,且点 关于 轴的对称点在直线 上,求 (3)若点 是直线

的最大面积.

交 轴于点 ,交 轴于点

的面积;

的面积

下方的抛物线上一动点,当点 运动到某一位置时,

最大,求出此时点 的坐标和 【答案】 (1)解: 和点

,得 抛物线

此抛物线的表达式是

交 轴于点 ,

(2)解:

抛物线

点 的坐标为

轴,点 是抛物线上一点,且点 关于 轴的对称点在直线 上, 点 的纵坐标是5,点 到 的距离是10, 当

时,

点 的坐标为

, 的面积是:

,如图所示,

,得

(3)解:设点 的坐标为

设过点

,点 ,得

即直线 的函数解析式为 当

时, , 的面积是:

点 是直线 下方的抛物线上一动点,

当 即点 的坐标是

时, 取得最大值,此时

时,

,点 的坐标是

的面积最大,此时

, 的面积是

, . ,

的直线 的函数解析式为 ,

【解析】【分析】(1)根据题意可以求得 、 的值,从而可以求得抛物线的表达式;(2)根据题意可以求得

的长和点 到

的距离,从而可以求得

的面积;(3) 的面积,然后根据二

根据题意可以求得直线 的函数解析式,再根据题意可以求得 次函数的性质即可解答本题