《一元二次方程的解法》教案

清江中学 钱旭东

【教学目标】

1.知识与技能：能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程.

2.过程与方法：经历一元二次方程解法的探究和发现过程，体会转化的思想方法.

3.情感态度与价值观：通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究，初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】

一元二次方程解法的理解和运用.

【教学模式】

结合本节课的教学内容和学生的认知情况，采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】

教具准备：多媒体课件. 【教学过程】

一、提出问题

有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进 不去，横着比门框多3尺，竖着比门框多1尺，另一 个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆，这个醉汉一试， 不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗？

（学生思考）

师：数学来源于生活，生活中也处处有数学。在上面的问题中，如果我们用数学的眼光来看，门可以看成我们熟悉的什么图形？

生：矩形.

师：那么，醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形？ 生：直角三角形.

师：我们可以把生活问题数学化，将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.

多3尺多1尺多1尺数学化 多3尺师：这是我们熟悉的问题，如果我们设竹竿长为x尺，你能得到相应的数量关系吗？请尝试一下.

学生独立完成.

师：我们请一位同学说一下他的成果. 生1：我得到的是(x-1)2+(x-3)2=x2 .

师：这个结果对不对，这是一元二次方程吗？ 生：对！是一元二次方程. 师：能整理成一般形式吗？试一试. 学生很快完成，得到结果x2-8x+10=0.

设计说明：以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境，生活气息浓

厚，趣味性强，学生容易产生兴趣，能够很快进入状态，为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题，简单易懂，起点低，且和本课所学内容密切相关，不同学生都可以进行探索，有所收获.师生一起对问题进行探究，将生活问题数学化，进而列出方程，为后面的深入探究打下很好的基础.

二、探究新知

探索一：从简单开始

师：要求出醉汉的竹竿长度，我们必须要求出x2-8x+10=0的解，这是解决前面问题时出现的新问题.

师：如果解方程x2-8x+10=0感觉很难的话，我们可以退一步，先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程？

生2：x2=0.

师：真是够简单的！大家会解这个方程吗？ 生：会! x=0.

师：很好，我们就从这样的方程开始！请解决下面问题. 探索一：A组 解下列方程 （1）x=3

2

（2） x2=16 （3）2x2=22 （4） 0.5x2=-1 B组 解下列方程 （1）(x+1)2=2 （2） (x-3)=8 （3）5(2x+3)2=10

学生都能很快解决，信心十足.

师：这是我们自己发现的解法，给它起个名字吧！ 生：直接开平方法！ 发现解法：直接开平方法

2

设计说明：面对探究过程中的出现的新问题，教师可以引导学生退回到最简单的情形

去解决，渗透了从简单到复杂，由易到难的解决问题的思想方法.学生在解决简单的一元二次方程前，就已经具备了平方根、开平方等知识，这些知识储备为学生发现直接开平方法提供了可能.教师在教学中要充分运用学生已有的知识经验，为课堂教学服务，从而提高课堂教学效果！

探索二：向目标迈进

师：我们已经解决了（x+h）=k这类方程，但是它离我们所要解决的目标x2-8x+10=0还

2

有很大的距离.前面解决的一元二次方程太特殊了，怎么办？

生：再复杂一点.

师：对，为了离目标近一些，我们把研究的方程再复杂点，从简单的角度看，我们先研究x2-8x=0（常数项为0）呢？还是先研究x2+10=0（一次项为0）呢？

生：先研究x2+10=0.

师：我们会解方程x2+10=0吗？ 学生思考，很快有人举手. 生3：这个方程无解. 师：很好！请看下面问题. 探索二：A组 解下列方程 （1）x-7=0 （2）y-25=0 （3）3t-45=0

学生观察后都能发现，上面三个方程都可以使用直接开平方法解决.

师：这类方程大家很快就解决了，它可以转化为我们前面已经解决的类型.现在我们继续探索方程x2-8x=0（常数项为0）的解法.

学生思考，过了一会儿，有人发言.

生4：方程x2-8x=0可以化为x（x-8）=0，所以解为x1=0，x2=8. 师：精彩！类似的，请大家解决下面问题. B组 解下列方程 （1）x-x=0 （2） y+5y=0 （3）2x-6x=0 （4）x=3x

多数学生很快解决，信心更足.

师：这是我们探索过程中发现的有一个解法，也给它起个名字吧！ 生：提公因式法！

师：因为提公因式是因式分解的一种方法，所以我们也可以称这种方法为因式分解法.

2

2222

22

发现解法：因式分解法

设计说明：从简单问题入手，但解决简单问题是为了解决后面的复杂问题，教师通过对一元二次方程的逐步复杂化，让学生的探索逐步深入.虽然方程越来越复杂，但师生一起解决问题的目标没有变，学生的兴趣和信心没有变。随着学生探索的深入，解决问题的目标意识和解决问题中的转化思想都得到了渗透和体现.

探索三：走向成功

师：前面我们一起探索、一起发现、一起收获，距离要解决的问题越来越近，让我们继续探索.

师：观察方程x2-8x+10=0，如果常数项为0，方程就变为x2-8x=0，这是我们已经解决的问题，利用前面的经验，方程x2-8x+10=0中常数项为10不好解，那如果把10换成你喜欢的数，你会换成谁呢？

生：换成16！

师：非常好！这个方程x2-8x+16=0我们会解吗？如何解呢？

生5：方程x2-8x+16=0可以变为(x-4)2=0，这就可以用直接开平方法来解了.

师：你真厉害啊. 如果方程是x2-8x+16=0，我们都可以用前面的方法来解.你能让方程x2-8x+10=0中出现16吗？

学生思考.

生6：方程x2-8x+10=0可以变形为是x2-8x+16=6，然后就可以解决了. 师：大家会解方程x2-8x+10=0了吗？ 生：会.

师：好，请解决下面的问题. 探索三：解下列方程

（1）x2-2x-2=0 （2）x2-6x +3=0

师：这是我们本节课发现的第三种方法，应该如何命名呢？ 生7：就叫“凑方法”. 学生大笑.

师：“凑方法”不错，简单而又形象，也能反映出方法的本质.在数学上，我们称这种解法为“配方法”.

发现解法：配方法

设计说明：教学的过程就是师生一起探索的过程，也是一起发现的过程，学生在教师的引领下，一步一步深入探索并在探索的过程中交流、思考、发现、收获，一步步走向成功.只要教师在教学中为学生提供时间和空间，学生就会收获自信收获成功！

三、问题解决

师：经过大家一起努力，我们终于掌握方程x2-8x+10=0的解法了.现在我们回头看看最

多1尺