一元二次方程的解法教学设计 人教版〔优秀篇〕 下载本文

《一元二次方程的解法》教案

清江中学 钱旭东

【教学目标】

1.知识与技能:能用直接开平方等方法解简单的一元二次方程.

2.过程与方法:经历一元二次方程解法的探究和发现过程,体会转化的思想方法.

3.情感态度与价值观:通过对一元二次方程解法由易到难、由简单到复杂的探究,初步养成对知识的探索精神和严谨的治学态度. 【重点难点】

一元二次方程解法的理解和运用.

【教学模式】

结合本节课的教学内容和学生的认知情况,采用“问题解决”的教学模式. 【辅助手段】

教具准备:多媒体课件. 【教学过程】

一、提出问题

有一天,一个醉汉拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进 不去,横着比门框多3尺,竖着比门框多1尺,另一 个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿杆,这个醉汉一试, 不多不少正好进去了。你能知道竹竿有多长吗?

(学生思考)

师:数学来源于生活,生活中也处处有数学。在上面的问题中,如果我们用数学的眼光来看,门可以看成我们熟悉的什么图形?

生:矩形.

师:那么,醉汉三次摆放的竹竿中存在什么图形? 生:直角三角形.

师:我们可以把生活问题数学化,将上述醉汉进门的问题转化为我们熟悉的数学问题.

多3尺多1尺多1尺数学化 多3尺师:这是我们熟悉的问题,如果我们设竹竿长为x尺,你能得到相应的数量关系吗?请尝试一下.

学生独立完成.

师:我们请一位同学说一下他的成果. 生1:我得到的是(x-1)2+(x-3)2=x2 .

师:这个结果对不对,这是一元二次方程吗? 生:对!是一元二次方程. 师:能整理成一般形式吗?试一试. 学生很快完成,得到结果x2-8x+10=0.

设计说明:以一个古代笑话“醉汉进门”的问题作为本节课的问题情境,生活气息浓

厚,趣味性强,学生容易产生兴趣,能够很快进入状态,为后面的学习做好心理上的准备.该情境问题,简单易懂,起点低,且和本课所学内容密切相关,不同学生都可以进行探索,有所收获.师生一起对问题进行探究,将生活问题数学化,进而列出方程,为后面的深入探究打下很好的基础.

二、探究新知

探索一:从简单开始

师:要求出醉汉的竹竿长度,我们必须要求出x2-8x+10=0的解,这是解决前面问题时出现的新问题.

师:如果解方程x2-8x+10=0感觉很难的话,我们可以退一步,先从最简单的情况入手.谁能写出一个最简单的一元二次方程?

生2:x2=0.

师:真是够简单的!大家会解这个方程吗? 生:会! x=0.

师:很好,我们就从这样的方程开始!请解决下面问题. 探索一:A组 解下列方程 (1)x=3

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(2) x2=16 (3)2x2=22 (4) 0.5x2=-1 B组 解下列方程 (1)(x+1)2=2 (2) (x-3)=8 (3)5(2x+3)2=10

学生都能很快解决,信心十足.

师:这是我们自己发现的解法,给它起个名字吧! 生:直接开平方法! 发现解法:直接开平方法

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设计说明:面对探究过程中的出现的新问题,教师可以引导学生退回到最简单的情形

去解决,渗透了从简单到复杂,由易到难的解决问题的思想方法.学生在解决简单的一元二次方程前,就已经具备了平方根、开平方等知识,这些知识储备为学生发现直接开平方法提供了可能.教师在教学中要充分运用学生已有的知识经验,为课堂教学服务,从而提高课堂教学效果!

探索二:向目标迈进

师:我们已经解决了(x+h)=k这类方程,但是它离我们所要解决的目标x2-8x+10=0还

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有很大的距离.前面解决的一元二次方程太特殊了,怎么办?

生:再复杂一点.

师:对,为了离目标近一些,我们把研究的方程再复杂点,从简单的角度看,我们先研究x2-8x=0(常数项为0)呢?还是先研究x2+10=0(一次项为0)呢?

生:先研究x2+10=0.

师:我们会解方程x2+10=0吗? 学生思考,很快有人举手. 生3:这个方程无解. 师:很好!请看下面问题. 探索二:A组 解下列方程 (1)x-7=0 (2)y-25=0 (3)3t-45=0

学生观察后都能发现,上面三个方程都可以使用直接开平方法解决.

师:这类方程大家很快就解决了,它可以转化为我们前面已经解决的类型.现在我们继续探索方程x2-8x=0(常数项为0)的解法.

学生思考,过了一会儿,有人发言.

生4:方程x2-8x=0可以化为x(x-8)=0,所以解为x1=0,x2=8. 师:精彩!类似的,请大家解决下面问题. B组 解下列方程 (1)x-x=0 (2) y+5y=0 (3)2x-6x=0 (4)x=3x

多数学生很快解决,信心更足.

师:这是我们探索过程中发现的有一个解法,也给它起个名字吧! 生:提公因式法!

师:因为提公因式是因式分解的一种方法,所以我们也可以称这种方法为因式分解法.

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发现解法:因式分解法

设计说明:从简单问题入手,但解决简单问题是为了解决后面的复杂问题,教师通过对一元二次方程的逐步复杂化,让学生的探索逐步深入.虽然方程越来越复杂,但师生一起解决问题的目标没有变,学生的兴趣和信心没有变。随着学生探索的深入,解决问题的目标意识和解决问题中的转化思想都得到了渗透和体现.

探索三:走向成功

师:前面我们一起探索、一起发现、一起收获,距离要解决的问题越来越近,让我们继续探索.

师:观察方程x2-8x+10=0,如果常数项为0,方程就变为x2-8x=0,这是我们已经解决的问题,利用前面的经验,方程x2-8x+10=0中常数项为10不好解,那如果把10换成你喜欢的数,你会换成谁呢?

生:换成16!

师:非常好!这个方程x2-8x+16=0我们会解吗?如何解呢?

生5:方程x2-8x+16=0可以变为(x-4)2=0,这就可以用直接开平方法来解了.

师:你真厉害啊. 如果方程是x2-8x+16=0,我们都可以用前面的方法来解.你能让方程x2-8x+10=0中出现16吗?

学生思考.

生6:方程x2-8x+10=0可以变形为是x2-8x+16=6,然后就可以解决了. 师:大家会解方程x2-8x+10=0了吗? 生:会.

师:好,请解决下面的问题. 探索三:解下列方程

(1)x2-2x-2=0 (2)x2-6x +3=0

师:这是我们本节课发现的第三种方法,应该如何命名呢? 生7:就叫“凑方法”. 学生大笑.

师:“凑方法”不错,简单而又形象,也能反映出方法的本质.在数学上,我们称这种解法为“配方法”.

发现解法:配方法

设计说明:教学的过程就是师生一起探索的过程,也是一起发现的过程,学生在教师的引领下,一步一步深入探索并在探索的过程中交流、思考、发现、收获,一步步走向成功.只要教师在教学中为学生提供时间和空间,学生就会收获自信收获成功!

三、问题解决

师:经过大家一起努力,我们终于掌握方程x2-8x+10=0的解法了.现在我们回头看看最

多1尺