练习题一

1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。

2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。

minf(x)tgi?x??0,i?1,2,答：针对一般优化模型s.. hj?x??0,j?1,m，讨论解的可行域D，若存在一点X*?D，对,p于?X?D 均有f(X*)?f(X)则称X*为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列X(1),X(2),,X(K) ，满足f(X(K?1))?f(X(K))，则迭代法收敛；收敛的停止准则有

x(k?1)?x(k)??，等。

x(k?1)?x(k)x(k)??，f?x(k?1)??f?x(k)???，

f?x(k?1)??f?x(k)?f?x(k)???，?f?x(k)???等

练习题二

1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R1、R2、和R3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。

解：确定决策变量 对3种资源报价y1,y2,y3作为本问题的决策变量。

确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。

确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。 因此有如下线性规划问题：min w?170y1?100y2?150y3

?5y1?2y2?y3?10?s..t?2y1?3y2?5y3?18 ?y,y,y?0?123*2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。 答：略。

3、用单纯形法求解下列线性规划问题：

z?4?x2?x3?2?x1?2x2?x3?x1?x2?2x3?2?x?2x?x?2x?x?x?3?2?23423 （1）s.t.?1； （2）s.t.??x2?x3?x5?5?x?x?43??1???x1,x2,x3?0?xi?0(i?1,2,?,5)

minz?x1?x2?x3min解：（1）引入松弛变量x4，x5，x6

min z?x1?x2?x3?0*x4?0*x5?0*x6

?x1?x2?2x3?x4 =2?2x?x?x ?x5 =3? s..t?123?x1?x3 ?x6=4???x1,x2,x3,x4,x5,x6?0cj→ CB 0 0 0 基 x4 x5 x6 cj-zj b 2 3 4 1 x1 1 2 -1 1 -1 x2 [1] 1 0 -1 1 x3 -2 1 1 1 0 x4 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0 因检验数σ2<0，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。

cj→ CB -1 0 0 基 x2 x5 x6 cj-zj b 2 1 4 1 x1 1 1 -1 2 -1 x4 1 0 0 0 1 x3 -2 [3] 1 -1 0 x4 1 -1 0 1 0 x5 0 1 0 0 0 x6 0 0 1 0 因检验数σ3<0，故确定x3为换入非基变量，以x3的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x5作为换出的基变量。

cj→ CB -1 1 0 基 x2 x3 x6 cj-zj b 8/3 1/3 11/3 1 x1 5/3 1/3 -4/3 7/3 -1 x2 1 0 0 0 1 x5 0 1 0 3 0 x4 1/3 -1/3 1/3 2/3 0 x5 2/3 1/3 -1/3 1/3 0 x6 0 0 1 0 因检验数σj>0，表明已求得最优解：X*?(0,8/3,1/3,0,0,11/3)，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：X*?(0,8/3,1/3)。

（2）根据题意选取x1，x4，x5，为基变量：

minz?4?x2?x3?2?x1?2x2?x3?x?2x?x?2?234 s.t.?x2?x3?x5?5???xi?0(i?1,2,?,5)cj→ 0 -1 1 0 0 CB 0 0 0 基 x1 x4 x5 cj-zj b 2 2 5 x1 1 0 0 0 x2 -2 [1] 1 -1 x3 1 -2 1 1 x4 0 1 0 0 x5 0 0 1 0 因检验数σ2<0最小，故确定x2为换入非基变量，以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x4作为换出的基变量。

cj→ CB 0 -1 0 基 x1 x2 x5 cj-zj b 6 2 3 0 x1 1 0 0 0 -1 x2 0 1 0 0 1 x3 -3 -2 [3] -1 0 x4 2 1 -1 1 0 x5 0 0 1 0 因检验数σ3<0最小，故确定x3为换入非基变量，以x1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x5作为换出的基变量。

cj→ CB 0 -1 1 基 x1 x2 x3 cj-zj b 9 4 1 0 x1 1 0 0 0 -1 x2 0 1 0 0 1 x3 0 0 1 0 0 x4 1 1/3 -1/3 2/3 0 x5 1 2/3 1/3 1/3 因检验数σj>0，表明已求得最优解：X*?(9,4,1,0,0)。

8、某地区有A、B、C三个化肥厂，供应本地甲、乙、丙、丁四个产粮区。已知各化肥厂可供应化肥的数量和各产粮区对化肥的需要量，以及各厂到各区每吨化肥的运价如表2-28所示。试制定一个使总运费最少的化肥调拨方案。

表2- 1

运价/ 产粮 (元/吨) 区 化肥厂 A1 A2 A3 各区需要量/万吨 5 4 8 6 8 9 4 6 7 10 2 3 3 7 9 3 7 8 3 甲 乙 丙 丁 各厂供应量/万吨 解：设A、B、C三个化肥厂为A1、A2、A3，甲、乙、丙、丁四个产粮区为B1、B2、B3、B4；cij为由Ai运化肥至Bj的运价，单位是元/吨；xij为由Ai运往Bj的化肥数量（i=1,2,3;j=1,2,3,4）单位