重庆大学全日制学术型硕士研究生 《数理统计》（A）课程试卷

2013-2014学年第一学期（秋）

2请保留四位小数，部分下侧分位数为：u0.95?1.65，u0.99?2.33，?0.95(1)?3.841，

f0.95(3,6)?9.78

一、（18分）设X1，X2，…，X64是来自总体N（0，?）的样本，X，S分别是样本

2X12?X2均值和样本方差：（1）求参数c满足P{X?S?c}?0.1；（2）求概率P{2?1}；2X3?X422?32?(3)求D??(X32?i?Xi?2X)2?。(请写出计算过程)

?i?1?解：（1）

nXn?X?n?c}?0.1 得~t(n?1)?P{X?S?c}?P{SSn?c?t0.95(63) 故c?1.658?0.2063

（2）X~N(0,?)?(X1/?)2?(X2/?)2~?2(2) 同理(X3/?)2?(X4/?)2~?2(2)

2X12?X22(X1/?)2?(X2/?)2(X3/?)2?(X4/?)2X12?X2?22?/~F(2,2) P{2?1}?P{F(2,2)?1} 2X3?X422X3?X4221X12?X2X12?X2且F0.5(2,2)??F0.5(2,2)?1 得P{2?1}?1?P{2?1}?0.5 22F0.5(2,2)X3?X4X3?X4n1n22(3)令Yi?Xi?Xn?i~N(2?,2?)，Y??Yi?2X ?T??(Yi?Y)?(n?1)SY

ni?1i?12232?322?D??(X32?i?Xi?2X)??DT?D[?(Yi?Y)2]

i?1?i?1?Yi?Y~N(0,2?2(1?1/n))

?Yi?Y2?(1?1/n)22~N(0,1)32

=D[2?(1?1/n)?(i?1Yi?Y2?2(1?1/n))2?4?4(1?1/n)2D(?2(32))?256?4(1?1/32)2

2二、（26分）设X1，X2，…，Xn是来自总体X~N(2,?)(??0)的样本，

?；b（1）求参数b?(A?2)2的矩估计量bP{X?A}?0.95。1（2）求参数的最大似然估计?，并评价b?的无偏性、有效性、相合性；量b（3）求参数b的置信度是1??的置信区间。22（4）试确定检验问题：H0:b?b0,H1:b?b0(b0?0)的检验统计量和拒绝域。 解：

X~N(2,?2)?X?2?~N(0,1) 0.95?P{X?A}?P{X?2??A?2?}

?A?2?22?u0.95 即A?2??u0.95 （1）b?(A?2)2??2u0.95 且EX2?(EX)2?DX

n1n21n212??(???Xi?4?b ???4??Xi??Xi2?4)u0.95?1ni?1ni?1ni?1(2) A?2??u0.95?b???nbu0.95?1 f(x)?e2??(x?2)22?2?u0.952??e?2(x?2)2u0.952b建立似然

函数L(b)?(2?)un?2n0.95ben?i?1?22?(xi?2)2u0.952b2nu0.95nn lnL(b)??ln(2?)?nlnu0.95?lnb?(xi?2)2 ?222bi?1dlnL(b)n1u????db2b2b2i?n0.952i?1n2(x?2)?(u0.95?i22b?(x?2)ii?1n2n??1(x?2)2u2 ?b) b?i20.95ni?1n22nuu220.950.95?)??是参数b的无偏估计。无偏性：E(b E(?(xi?2))??n?2?u0.95?2?b?b22nni?1n有效性：

dlnL(b)n2?2(u0.95db2b?(x?2)ii?12n?b)且c(b)?n仅是b的函数； 2b22nu0.95?)??是b的有效估计量。 又E(bE(?(xi?2)2)?b ?b22ni?12nu0.95c(b)g'(b)1g'(b)2b2'2相合性：因为T? E(?(xi?2))，g(b)?1，所以I(b)??2,DT??nn2bc(b)ni?12b2??是b的相合估计量。 DT?D(b2)??0(n??) 故T?b2n（3）b??u0.95?b的置信度是1??的置信区间既是?的置信度1??的置信区间。因

22均值?已知设样本方差为S，得?置信度为1??的置信区间

222(n?1)S2(n?1)S263S263S2(2,2)?(2,2) ?b的置信度是1??的置信区间为 ??(n?1)??(n?1)??(63)??(63)1?222u0.95?2?(63)21?2222u0.95??(63)(u220.952S??1?263选

择

检

,u220.952S??263计

量

：

) (n?1)S2~?2(n?1)（4）验统

?2；拒绝域

Ko?{u220.952S2?2?u0.95??1?263或u220.952S22??u0.95??263)

三、（14分）假设飞机上用的铝制加强杆有两种类型A与B，它，它们的抗拉强度（kg/mm2）

22分别服从N(?A,?A由生产过程知其标准差?A?1.2,?B?1.5（1）若从A、)与N(?B,?B)。

B两类加强杆中抽取的样本容量相同，那么要使得?A??B的0.90的置信区间长度不超过2.5kg/mm2需要多少样本量？(2)给出统计假设H0:?A?1.1?B,?A?1.1?B的检验统计量和拒绝域。若对A，B两类加强杆各自独立地抽取了7根，测得抗拉强度的样本均值分别是87.6与74.5，试对统计假设进行检验（显著性水平取0. 1）。 解：1）设X、Y分别表示铝制加强杆两种类型A、B的抗拉强度，X、Y为样本均值。则

2?AX、Y相互独立且X~N(?A,n)，X~N(?B,2?Bn)?X?Y~N(?A??B,22?A??Bn)

?P{X?Y?(?A??B)22(?A??A)/n22??B)/n?2.5 ?u0.95}?0.90 由题置信区间的长度2u0.95(?A解得样本容量n?7。

222）由题意知X?87.6，Y?74.5 当H0成立时X?Y~N(0.1?B,(?A??B)/n)

拒绝域K0?{X?Y?0.1?B)(???)/n2A2A?u0.9}

四、（12分）用铸造与锻造两种方法制造某种零件，从各自制造的零件中分别随机抽取100只，经检验发现铸造的有10个不合格品，锻造有3个不合格品。试问在显著水平??0.05下，能否认为零件的不合格率与制造方法有关？ 解：根据题意，我们提出如下统计假设：

H0：零件的不合格率与制造方法无关；H1：零件的不合格率与制造方法有关。

知n?200,m?2,r?0.在显著性水平??0.05下，选择检验统计量??2(vi?npi)， ?npii?12