【2019-2020】中考数学一轮复习第16讲二次函数的应用导

学案

一、知识梳理

二次函数的应用

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题．

建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题

建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．

二、题型、技巧归纳

考点1利用二次函数解决抛物线形问题

例1 如图排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.

(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值

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范围)；

(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围． 技巧归纳：利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．

考点2二次函数在营销问题方面的应用

例2国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图16－2所示：

(1)今年老王种粮可获得补贴多少元？

(2)根据图象，求y与x之间的函数关系式；

(3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总利润W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式．当种粮面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润．

技巧归纳：二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二

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次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．

考点3数在几何图形中的应用

例3 如图在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝BF＝x cm.

(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V； (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大，试问x应取何值？

技巧归纳：二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求解．

三、随堂检测

1、某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售．每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件)之间满足一次函数．

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(1)试求y与x之间的函数关系式；

(2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利润是多少？

2、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销售量就减少10件．

(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函数关系式；

(2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利润为多少？

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