（2） 非零整数集合 和普通的除法运算。不封闭
（3） 全体n?n实矩阵集合 （R）和矩阵加法及乘法运算，其中n 2。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；
乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；
（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n 2。不封闭 （5）正实数集合 和 运算，其中 运算定义为：
， ，
不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R?
（6）n 关于普通的加法和乘法运算。 封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；
乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n 运算定义如下：
， ，
封闭 不满足交换律，满足结合律，
（8）S = 关于普通的加法和乘法运算。 封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律
5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题
7．设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?，
X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.
(1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3
(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？
?满足交换律，结合律，和幂等律
(3)求*运算的单位元，零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元
8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算，
< a，b >*
（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：
可结合：(
（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设
所以当x?0时，?x,y??1?1y,? xx10．令S={a，b}，S上有四个运算：*， ，和□分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)
(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元 (c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 没有单位元, 没有零元
(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元
(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上
16．设V=〈 N，+ ， 〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？
（1）S1= 是
（2）S2= 不是 加法不封闭 （3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案
8.设S={0，1，2，3}，
为模4乘法，即
y=(xy)mod 4
\?x,y∈S, x
问〈S，
〉是否构成群？为什么？
y=(xy)mod 4?S,
是S上的代数运算。
解：(1) ?x,y∈S, x
(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3
(x
y)
z =((xy)mod 4)
z=r
z=(rz)mod 4
=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x
(y
z) =(xyz)mod 4 y)
z = x1)=(1
(y
z)，结合律成立。
所以，(x(3) ?x∈S, (x
x)=x,，所以1是单位元。
(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以，〈S，
〉不构成群
9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： \?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？
解：(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,
(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设e是单位元，?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2
(4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x?1?y?4?x 所以〈Z，o〉构成群
??10??10?11.设G=???01??,??0?1??,???????10???10????01??,??0?1???，证明G关于矩阵乘法构成一个群． ?????解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律
?10?(3)设??01??是单位元，
??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群． 14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。
证明:?x,y∈G，设x?ak,y?al，则 所以，G是交换群
17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
22?e0，即e0?e0e，由消去律知e0?e 证明:设e0?G也是幂等元，则e018.设G为群，a,b,c∈G,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)k?e?(bca)k?e 设(abc)k?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e，
bc)(abc)?a(bc)aa?1?e 即 a(bc)(a左边同乘a?1，右边同乘a得
反过来，设(bac)?e,则(abc)?e.
kk由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣ 19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，?a?G，当a?e时，a是一阶元，当a?e时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a?1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元
20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元。
若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；
若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2?e，a?1?a
?a,b?G,a?1?a,b?1?b,(ab)?1?ab,所以ab?a?1b?1?(ba)?1?ba，
与G为Abel群矛盾；
所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则a?a2，且a2a?aa2。 令b?a2的证。
21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。 （1）全体对称矩阵 是子群 （2）全体对角矩阵 是子群
（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵。 是子群
22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即
N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。 证明：ea=ae,e?N(a)??
a(xy)?(ax)y?(xa)y?x(ay)?x(ya)?(xy)a,所以xy?N(a)
由ax?xa，得x?1axx?1?x?1xax?1,x?1ae?eax?1，即x?1a?ax?1，所以x?1?N(a) 所以N（a）构成G的子群
31.设?1是群G1到G2的同态，?2是G2到G3的同态，证明?1??2是G1到G3的同态。 证明：有已知?1是G1到G2的函数，?2是G2到G3的函数，则?1·?2是G1到G3的函数。 所以:?1·?2是G1到G3的同态。