第十章 计算机控制系统
本章要求了解计算机控制系统的基本概念，掌握z变换的数学工具，学会写出计算机控制系统的传递函数、判断其稳定性，并学会设计数字控制器的方法。
例1 某连续时间函数x(t)的拉氏变换为
5，试求其z变换。 s?s?5?解：先通过X(s)的拉氏反变换求出x(t)，对x(t)采样得到x(kT)，然后对x(kT)进行z变换求出X(z)。
X(s)?511??
s?s?5?ss?5 拉氏反变换，得
x(t)?(1?e?5t)?1(t)
经采样，得：x?kT??1?e??5kT??1?kT?
zzz1?e?5T??因此， X?z??Z?x(kT)?? z?1z?e?5T?z?1?z?e?5T????
例2 求如例题图10-2所示系统的闭环传递函数，并判断系统稳定性。
例题图10-2
解：先求出开环脉冲传递函数，然后求闭环脉冲传递函数，可根据特征方程的根判断系统稳定性。
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?1?e?s1?G?z??Z?????sss?1?????1???11?Z?1?e?s?2????ss?1?s?????
?zzz??1?z?1????2?1z?1z?e??z?1??????
?e?1z?1?2e?1?z?1??z?e?1?e?1z?1?2e?1Xo?z?G?z???Xi?z?1?G?z??z?1??z?e?1?e?1z?1?2e?1?e?1z?1?2e?1z2?z?1?e?11??z?1??z?e?1?闭环特征方程为 解之，得
z2?z?1?e?1?0
z1,2?0.5?j0.62
因为 z1?z2?1
所以该系统稳定。
例3 对于如例题图10-3所示系统，
X(s) + － K T 1?e?Tss 1?esTs2s?1 1?esTsY(z)T 例题图10-3
(1) 试求出闭环系统的脉冲传递函数Gc(z)?Y(z)； X(z)?0.1(2) 试求出使系统稳定的K值范围，设采样周期T?0.1秒。（e(3) 若输入为单位阶跃函数，试求系统的稳态误差e(?)。 解：(1) 广义对象传递函数为
?0.905）；
?1?e?Ts2?HG(z)?Z??ss?1????2??(1?z?1)Z??
s(s?1)???T2(1?e)?z?e?T62
2K1?e?T?TK?HG(z)Y?z?2K1?e?Tz?e?? 则 Gc?z?? ?T?T?T2K1?e1?K?HG(z)z?e?2K1?e1?z?e?T???????? (2) 由脉冲传递函数知闭环系统特征方程为
z?e?T?2K1?e?T?0
?? 特征根为
z?e?T?2K1?e?T?e?0.1?2K1?e?0.1
???? 系统稳定须满足条件 z?e?0.1?2K1?e?0.1?1 解之，得使系统稳定的K值范围为0?K?10 (3) 若x?t??1?t?,z?1??z z?1y????lim?Y?z??z?1???lim?Gc(z)X?z??z?1??则X?z????2K1?e?Tz???lim???z?1?z?1z?e?T?2K1?e?Tz?1??2K1?e?T?1?e?T?2K1?e?T
2K?1?2K2K?e????x????y????1?1?2K1?1?2K?z?1???????
10-1 计算机反馈控制系统由哪些部分组成？试说明计算机在计算机控制系统中的作用。
10-2 根据零阶保持器的相频特性，当信号的频率为采样频率的1/5时，试求保持器所引起的相位误差。
10-3 试用图说明模拟信号、离散信号和数字信号。
10-4 设有模拟信号0.5~1伏，若字长取8位，试求量化单位?及量化误差?。 10-5 求解下列差分方程：
(1) y(kT)?3y(kT?2T)?2y(kT?3T)?0，y(0)?0，y(T)?5，y(2T)?1 (2) y(kT)?2y(kT?T)?3，y(0)?0 (3) y(kT?2T)?6y(kT?T)?8y(kT)?u(kT)
k当k?0时，y(kT)?0；u(kT)为单位阶跃序列。
10-6 求下列时间序列的Z变换
(1) x(kT)?k?1(kT)，1(kT)为单位阶跃序列。
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(2) x(kT)?(?1)?(?2) (3) x(kT)?e?akTkk
cos(bkT)
(4) 设某单位脉冲序列定义为
?1?(kT)???0试求它的Z变换。
(5) x(kT)为周期序列，试求它的Z变换。 10-7 试求下列函数的初值和终值： (1) X(z)?k?0,1,2,?,n?1k?n,n?1,??
2
1?z?110z?1(2) X?z?? ?12(1?z)5z2(3) X?z??
(z?1)(z?2)10-8 已知连续信号的拉氏变换式，求相应采样信号的Z变换：
a(1?e?Ts)a11(1) ；(2) ；(3) ；(4) 2s(s?a)s(s?a)(s?a)s?a10-9 求下列函数的Z反变换
5
z?2?z?1?6z(1?e?T)(2) X(z)?
(z?1)(z?e?T)(1) X(z)?z2(3) X(z)? 2(z?1)(z?2)z2?1(4) X(z)?
z(z?1)(z?2)10-10 已知系统的差分方程，用Z变换求单位阶跃输入时的y(kT)。
(1) y(kT)?0.75y(kT?T)?0.125y(kT?2T)?u(kT)，y(?T)?y(?2T)?0 (2) y(kT?2T)?3y(kT?T)?2y(kT)?u(kT)?2u(kT?T)，y(0)?y(T)?0 10-11 试用Z变换法求解差分方程 (1) y(kT?2T)?3y(kT?T)?2y(kT)?0
y(0)?0x(kT)?e?akT
y(T)?1
(2) y(kT)?2y(kT?T)?2y(kT?2T)?x(kT)?2x(kT?T)
(3) y(kT)?7y(kT?T)?3y(kT?2T)?u(kT)，u(kT)为单位阶跃序列。 (4) y(kT?2T)?2y(kT?T)?y(kT)?k
y(0)?1y(T)?2
10-12 系统的结构图如下，求输出量y(kT)的Z变换
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(1) (2) (3) (4) (5) (6)
H2(s) T T X(s) + － T + X(s) T 1?es?TsKs(s?a)1?esTsY(z) T 1?eTssX(s) + － T W(s) T Y(z) H(s) X(s) + － T D(s) T H(s) W(s) T Y(z) X(s) + － T D(s) T H(s) T N(s) X(s)=0 + － T W1(s) + + W2(s) T W(s) T Y(z) Y(z) Y(z) W(s) － H1(s) T 65