20. 某系统如题图4-20所示，当a分别为1，4，8，16，256时，求其Mp,tp,ts，并画出开环对数幅频特性图，求出?c和?c对应的角度值。

题图4-20

21．对于题图4-21所示的最小相位系统，试写出其传递函数。

题图4-21

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第五章 控制系统的稳定性分析

本章要求学生明确控制系统稳定的概念、稳定的充分必要条件，重点要求学生掌握劳斯一赫尔维茨稳定性判据和乃奎斯特稳定判据，以及系统相对稳定性的概念。并掌握相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法。

例1 某系统如例图5-1a所示，当开关K打开时，系统稳定否？当开关闭合时，系统稳

定否?如果稳定，当ui?t??1?t?V,uo?t?的稳态输出值是多少？

例图5-1a

解: 欲判断开关开闭时系统的稳定性，可先将系统开关开闭时系统的传递函数求出，根据特征方程根的性质即可判断系统稳定性。

(1) 当开关K打开时，该系统的方块图如例图5-1b所示。

例图5-1b

由例图5-1b可知， 1U?s??10 o?s???10??

1Ui?s?s?11?s 其特征方程根为s=＋1，在右半s平面，故开关K打开时系统不稳定。 (2) 当开关K闭合时，该系统的方块图如例图5-1c所示。

例图5-1c

由例图5-1c可知， ?10U?s??10 o?s?1?

?10s?9Ui?s?1?s?1 其特征方程根为s=-9，在左半s平面，故开关K闭合时系统稳定。

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当ui?t??1?t?V时， Ui?s??1 s所以 uo????lims?s?0?10110????V? s?9s9例2 一个反馈控制系统的特征方程为 s3?5Ks2??2K?3?s?10?0

试确定使该闭环系统稳定的K值。

解: 该题给出了系统闭环特征方程，可利用劳斯判据求出K值范围。

s3s2s1s015K22K?3K?2K102K?310

?5K?0?? 解?2K?3?0

2?2K?3K?2?0?K? 得K＞0.5即为所求。

例3 设某闭环系统的开环传递函数为 Ke?2s G?s?H?s??

s试求系统稳定时的K值范围。

解: 已知系统的开环传递函数含有指数函数，故不能借助代数判据，可考虑借助乃氏判据求出K值范围。

Ke?2j?G?j??H?j???j?KG?j??H?j???? ?G?j??H?j?????2?2?

G?j0?H?j0??????2G?j??H?j???0??? 其乃氏图大致形状如例图5-3所示。

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例图5-3

为了求出该乃氏图与实轴相交的最左边的点，可解 ??2?2????

得 ??? 4则 Re?G?j????????4???????H?j????G?j?H?j???K

??4??4???4??4?? 为了保证系统稳定，乃氏曲线不应绕过（-1，j0）点，即 Re?G?j得K?????????4?H?j????K??1

???4??4???即为所求。 4

例4 例图5-4是一个空间起飞助推器的姿态控制模型示意图。这是一个倒摆，安装在马达传动车上，我们要使摆保持在垂直位置。我们只考虑二维问题，即认为摆只在例图5-4所示的图面运动。为了保持上摆位于垂直位置，我们连续地测量??t?和???t?，形成控制力u（t），使

??t? u?t??Ma??t??b??? 试确定使系统稳定的a、b值，假设在摆轴上和车轴上无摩擦，并假设??t?和???t?很小。

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θ

例图5-4

解: 为了求出使系统稳定的??t?和???t?值，可通过求出系统动态特征方程，利用代数判据求出。

因为??t?和???t?很小 所以

sin??t????t?

cos??t??1 设J为上摆围绕质量中心的转动惯量，则 J?ml2/3

由力学定律和已知条件，有

??ml2?????t??mgl??t??0?t??ml??ml2??y????3????2????t??u?t? ? ml??t???M?m??y???t?u?t??Ma??t??b????????t?和u?t?，得 消去变量，?y??m??3?a??1??g?M3b???????t?? ????t????t??0

mm??????4?l??4?l?M??M?此为二阶系统，系数均为正，则系统稳定。

解

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