第一节 全等三角形的性质和判定

一、课标导航

二、核心纲要

1.基本概念 (1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形．

(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

(3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的

/边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A与A,B与B,C与C是对应顶点；AB与

//A/B/,AC与A/C/,BC与B/C/是对应边；?A与?A/,?B与?B/,?C与?C/是对应角．

2．表示符号

“≌”；如右图所示，?ABC??ABC.

注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上．

3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边是对应边． (4)有公共角的，公共角是对应角． (5)有对顶角的，对顶角是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角 是对应边（或对应角）.

4．全等量角形的性质

(1)全等三角形对应边相等． (2)全等三角形对应角相等．

(3)全等三角形的周长、面积相等．

(4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用）

5．全等三角形的判定

(1) -般三角形全等判定方法

①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）；

②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；． ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；

④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）． (2)直角三角形全等判定方法 ①特殊方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）；

②一般方法：SAS，ASA，AAS.

注：切记“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；判定两个三角形全等必不可少的条件至少有一条边对应相等． 6．判定三角形全等的基本思路（“题目中找，图形中看”）

7．全等三角形的图形有以下几种典型形式 (1)平移全等型

(2)对称全等型

(3)旋转全等型

本节重点讲解：一个概念，一个思路，三类图形，四个性质，五个判定，

三、全能突破

基 础 演 练

?1．如图12-1-1所示，将△AOB绕点0按逆时针方向旋转45后得到?AOB,若?AOB?15,则

//???AOB的度数是( )．

A.20o B.30? C.35? D.40?

2．如图12 -1-2所示，给出下列四组条件：

①AB?DE,BC?EF,AC?DF; ?②AB?DE,?B??E,BC?EF;

③?B??E,BC?EF,?C??F;

④AB?DE,AC?DF,?B??E.

其中，能使△A BCcn△DEF的条件共有( )．

A.1组 B．2组 C．3组 D．4组

3．如图12 -1-3所示，AB?CD,AD?CB,AC、BD相交于点0，图中有( )对全等三角形．

A.2 B.3 C.4 D.5

4．如图12 -1-4所示，△ABC绕点A旋转180得到△AED， (1)则DE与BC的位置关系是 ，数量关系是 (2)若s?ABC?24,则s?ADE?

(3)若AC?2,BC?4,?ADE的周长为偶数，则AE的长为

5．如图12 -1-5所示，AB?CD,OA?OC,OB?OD,OP是?BOD的平分线，求证：?AOP??COP.

o

6．如图12 -1-6所示，点A、C、B、D在同一条直线上，BE//DF,?A??F,AB?FD.求证：AE?FC.

7．如图12 -1-7所示，AB//ED,点F、点C在AD上，BC//EF,AB?DE,求证：AF?DC.

8．如图12 -1-8所示，AE?AB,BC?AB,AE?BA,ED?AC.求证：ED?AC.

9．如图12 -1-9所示，给出五个等量关系：①AD?BC, ②AC?BD, ③CE?DE, ④?D??C,

⑤?DAB??CBA.请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写

出一种情况），并加以证明． 已知： 求证： 证明：

能 力 提 升

10．如图12 -1-10所示，将Rt△ABC(其中?B?34,?C?90)绕A点按顺时针方向旋转到?AB1C1的

位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于( )

??A.56? B.68o C.124? D.180o

11．如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3,3x?2,2x?1,若这两个三角形全等，

则x等于( )．

77A. B.3 C.3或 D.4 33

12.如图12 -1-11所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使 所画的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可画出( )个． A.2 B.4 C.6 D.8

13.如图12 -1-12所示，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若?BAC?138,则∠EFC的度数为

?

14.如图12 -1-13所示，点A在DE上，点F在AB上，且AC?CE,AB?3,?1??2??3,则DE的长 为

15.如图12 -1-14所示，已知AC与BD相交于点E,AE?AB?1,AE?DC,AD?BE,?ADC??DEC, 则CE的长为

16.如图12 -1-15所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF?AC,FD?CD.求证：BF?AC;

17.如图12 -1-16所示，已知AE?AB,AF?AC,AE?AB,AF?AC, 求证：(1)FC?BF;(2)EC?BF.