2019-2020学年高中数学人教A版选修2-1练习:2.3.1双曲线及其标准方程 Word版含解析 下载本文

[学生用书P113(单独成册)])

[A 基础达标]

1.已知双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( ) A.?C.?

2?

?2,0?

B.?5?

?2,0?

6?

?2,0?

D.(3,0)

a2+b2

x2y21

解析:选C.将双曲线方程化成标准方程为-=1,所以a2=1,b2=,所以c=

112

2=

66

,故右焦点坐标为?,0?. 2?2?

x2y2

2.以椭圆+=1的焦点为顶点,以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是

34( )

x22

A.-y=1

3x2y2

C.-=1

34

x2

B.y-=1

3

2

y2x2

D.-=1

34

解析:选B.由题意知,双曲线的焦点在y轴上,且a=1,c=2,所以b2=3,所以双x2

曲线的方程为y-=1.

3

2

x2y2x2y2

3.椭圆+2=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是( )

4aa21

A.

21

C.1或

2

a>0,??

解析:选D.依题意:?0<a<4,解得a=1.

??4-a=a+2,

22

B.1或-2 D.1

4.已知点A(0,-4),B(0,4),|PA|-|PB|=2a,当a分别为3,4时,点P的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线

解析:选D.当a=3时,2a=6<8,又|PA|-|PB|=2a,故点P的轨迹是双曲线的一支;当a=4时,2a=8,又|PA|-|PB|=2a,故点P的轨迹是一条射线.

5.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是( )

x2y2

A.-=1

169x2y2

C.-=1

916

x2y2

B.-=1(x≥4)

169x2y2

D.-=1(x≥3)

916

解析:选D.由|MA|-|MB|=6,且6<|AB|=10,得a=3,c=5,b2=c2-a2=16. 故其轨迹为以A,B为焦点的双曲线的右支. x2y2

所以方程为-=1(x≥3).

916

6.若点P到点(0,-3)与到点(0,3)的距离之差为2,则点P的轨迹方程为________. 解析:由题意并结合双曲线的定义,可知点P的轨迹方程为双曲线的上支,且c=3,x2

2a=2,则a=1,b=9-1=8,所以点P的轨迹方程为y-=1(y≥1).

8

2

2

x2

答案:y-=1(y≥1)

8

2

x2y2

7.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线-=1上一点M的横坐标为3,则点M

412到此双曲线的右焦点的距离为________.

解析:双曲线右焦点为(4,0), x2y2

将x=3代入-=1,得y=±15.

412所以点M的坐标为(3,15)或(3,-15), 所以点M到双曲线右焦点的距离为答案:4

y2

8.设F1,F2是双曲线x-=1的两个焦点,P是双曲线上一点,且3|PF1|=4|PF2|,

24

2

(4-3)2+(±15)2=4.

则△PF1F2的面积为________.

解析:由题意知|PF1|-|PF2|=2a=2, 4

所以|PF2|-|PF2|=2,

3所以|PF2|=6,|PF1|=8,

又|F1F2|=10,

所以|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2, 所以△PF1F2为直角三角形, 且∠F1PF2=90°, 所以S△PFF=24.

1

2

答案:24

x2y29.已知-=-1,当k为何值时:

1-k|k|-3(1)方程表示双曲线;

(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线. 解:(1)原方程可变形为-=1.

|k|-31-k

要使方程表示双曲线,必须满足(|k|-3)(1-k)>0,

y2

x2

??1-k>0??1-k<0即?或?,解得k<-3或1<k<3. ??|k|-3>0??|k|-3<0

(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线,

??1-k<0则?,解得1<k<3. ??|k|-3<0

10.焦点在x轴上的双曲线过点P(42,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.

解:因为双曲线焦点在x轴上,

x2y2

所以设双曲线的标准方程为2-2=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).

ab因为双曲线过点P(42,-3), 329

所以2-2=1.①

ab

又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, →→所以QF1·QF2=0, 即-c2+25=0. 解得c2=25.②