所以c2＝8－2＝6．

因为椭圆与双曲线有公共焦点，

所以在双曲线中，a2＋b2＝c2＝6，即b2＝6－a2． x2y2

设双曲线的方程为2－＝1(0＜a2＜6)．② 2a6－a

??由①②解得?

6－a??y＝3.2

2

2

4a2x＝，3

由椭圆与双曲线的对称性可知四个交点构成一个矩形，

2

4a26－a8·＝ 333

22

8a＋（6－a）

a（6－a）≤·＝8，

322

2

其面积S＝4|xy|＝4·当且仅当a2＝6－a2，即a2＝3，b2＝6－3＝3时，取等号． x2y2

所以双曲线的方程是－＝1．

33

14．(选做题)已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F1、F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝63，试判断△MF1F2

的形状．

x2y2

解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝

94x2y2

方程为2－2＝1(a>0，b>0)．

ab

94??a2－b2＝1，

依题意得?解得a2＝3，b2＝2，

22??a＋b＝5，x2y2

所以双曲线的标准方程为－＝1．

32

(2)不妨设点M在双曲线的右支上，则有|MF1|－|MF2|＝23，因为|MF1|＋|MF2|＝63，所以|MF1|＝43，|MF2|＝23．又|F1F2|＝25，

因此在△MF1F2中，边MF1最长， |MF2|2＋|F1F2|2－|MF1|2

而cos∠MF2F1＝<0，

2|MF2|·|F1F2|

9－4＝5，故可设双曲线

所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．