学科教师辅导讲义

学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 教学目标 授课日期及时段 T同步课堂 年 级：五年级 辅导科目：奥数 课 时 数：3 学科教师： 第24讲——包含与排除 P实战演练 S归纳总结 ① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 T（Textbook-Based）——同步课堂 知识梳理 一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：AB?A?B?AB，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A 1．先包含——A?B 重叠部分AB计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A?B?AB 把多加了1次的重叠部分AB减去． 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AB，即阴影面积． B，即阴影面积． B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求A?B(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C?AB(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和?A类元素的个数?B类元素个数?C类元素个数?既是A类又是B类的元素个数?既是B类又是C类的元素个数?既是A类又是C类的元素个数?同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：ABC?A?B?C?AB?BC?AC?ABC．图示如下： 图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数． 1．先包含：A?B?C 重叠部分AB、BC、C A重叠了2次， 多加了1次． 2．再排除：A?B?C?AB?BC?AC 重叠部分ABC重叠了3次，但是在进行A?B?C?AB?BC?AC在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． A?B?C?AB?BC?AC?ABC典例分析 考点一：两量重叠问题 例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ ACB 例2、对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？ 会游泳的A两项都会的B会打篮球的两项都不会的 例3、在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ A既采樱桃又采杏的B既没采樱桃又没采杏的 例4、育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？ 乙A丙B甲 考点二：三量重叠问题 例1、全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三个运动项目没有人全会，至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格，那么， （1） 数学成绩优秀的有几个学生？ （2）有几个人既会游泳，又会滑冰？