精品文档

多元函数积分学

知识结构：

必备基础知识 ★ 二重积分的定义

设f(x? y)是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成n个小闭区域：?? 1? ??

2

? ? ? ? ? ?? n ，其中?? i表示第i个小区域? 也表示它的面积? 在每个?? i上任取一点(? i? ?i)?

作和：

?f(?i,?i)??i?

i?1n如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在闭区域D上的二重积分? 记作

n??f(x,y)d?? 即

Dlim?f(?i,?i)??i? ??f(x,y)d????0i?1Df(x? y)被积函数? f(x? y)d?被积表达式? d?面积元素? x? y积分变量? D积分区域?

?f(?i,?i)??i积分和?

i?1n★ 二重积分的几何意义

精品文档

精品文档

如果f(x? y)?0? 被积函数f(x? y)可解释为曲顶柱体的在点(x? y)处的竖坐标? 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积? 如果f(x? y)是负的? 柱体就在xOy 面的下方? 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积? 但二重积分的值是负的?

★ 二重积分的性质（二重积分与定积分有类似的性质） 性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即

（k为常数）。

性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的和（或差）。

。

性质3 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如D分为两个闭区域D1与 D2，则

??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?。

DD1D2此性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。 性质4 如果在D上，f（x，y）= 1，s 为D的面积，则

??1?d????d???。

DD此性质的几何意义很明显，因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

性质5：如果在D上? f (x? y)?g(x? y)? 则有不等式：

??f(x,y)d????g(x,y)d?

DD精品文档

精品文档

特殊地，|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d?

DD性质6设M、m分别是f(x? y)在闭区域D上的最大值和最小值? ?为D的面积? 则有：

m????f(x,y)d??M??

D上述不等式是对二重积分估值的不等式。

性质7（二重积分的中值定理）设函数f(x? y)在闭区域D上连续? ? 为D的面积? 则在D上至少存在一点(?? ?)使得：

★ 积分区域的分类

（1）上下结构：平面图形D由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成

??f(x,y)d??f(?,?)??

D

特点：

（1）平面图形D上下是两条曲线y?f上(x)和y?f下(x)，左右是两条直线x?a与x?b； （2）作穿过平面图形D且平行于y轴的有向直线，进入区域交的是y?f下(x)，出来区域交的是y?f上(x)

例：抛物线y2?x、y?x2所围成的图形 解：该平面图形为上下结构： 上面是曲线：y?x；

下面是曲线：y?x2； 左边是直线：x?0； 右边是直线：x?1。

精品文档