概率统计简明教程课后习题答案(工程代数同济大学版) 下载本文

解:(1)

(2)

,求

15. 设随机变量X,Y相互独立,X~N(1,1),解

16. 验证:当(X,Y)为二维连续型随机变量时,按公式

及按公式

算得的EX值相等。这里,f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X的分布密度。 证明

17. 设X的方差为2.5,利用契比晓夫不等式估计的值。 D(X)2.51 解

18. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5,根据切比雪夫不等式估计的值。 解

所以

21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年 解

x1!

x6!

2. 设是来自上的均匀分布的样本,未知 (1)写出样本的联合密度函数;

(2)指出下列样本函数中哪些是统计量,哪些不是?为什么?

(3)设样本的一组观察是:0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解 (1) 0 其他

(2)T1和T4是,T23不是。因为T1和T4中不含总体中的唯一未知参数而T2和T3中含有未知参数。 1n161(3)样本均值

221n162样本方差

样本标准差。 22 3. 查表求,,t0.99(12),t0.01(12)。

,,,。 解

4. 设,求常数c,使。 解 由t分布关于纵轴对称,所以即为。 由附表5.6可查得

,所以。

5. 设是来自正态总体的样本,试证: (1)1

(2)。

证明:

(1)独立同分布于,由分布的定义,,

即。 (2)易见,

,即,即,由分布的定义,

6. 设是独立且服从相同分布的随机变量,且每一个

都服从。

服从分布,并指出它的自由度; (1)试给出常数c,使得 (2)试给出常数d,使得

服从t分布,并指出它的自由度。

2(1)易见,即为二个独立的服从的随机变量平方和,服从

分布,即1;自由

度为2。 (2)由于,则

,又。

2

与相互独立,则 即

即,自由度为3。 2 7. 设是取自总体X的一个样本,在下列三种情况下,分别求

(2)解 (1)

:(1);(3)

,其中

(2)

(3)

3

ES

-

8. 某市有100000个年满18岁的居民,他们中10%年收入超过1万,20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本,求:

(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率; (2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解

(1)引入新变量:

,第i个样本居民年收入超过1万

0,第i个样本居民年收入没超过1万 其中 易见:

,其中

又因立。

,故可以近似看成有放回抽样,

相互独

样本中年收入超过1万的比例即为,由于即,所求概率即为

(2)同(1)解法 引入新变量:

,第i个样本居民受过高等教育

0,第i个样本居民未受过高等教育 其中

较大,可以使用渐近分布求解,

答:(1)样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918; (2)样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。

习题十解答 1. 设是取自总体X的一个样本,在下列情形下,试求总体参数的矩估计与最大似然估计: (1),其中p未知,; (2),其中未知,。 。 解 (1),故p的矩估计量有p 另,X的分布律为, 故似然函数为

对数似然函数为:

。 解得p的最大似然估计量

可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

。 (2),令,故的矩估计量另,X的密度函数为

故似然函数为

L

对数似然函数为

。 解得的最大似然估计量

可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2. 设是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为的泊松分布,其中未知,,求求。 解 ,故的矩估计量 由样本观测值可算得

另,X的分布律为 x!

故似然函数为

对数似然函数为

解得的最大似然估计量 。 故的最大似然估计值 3. 设是取自总体X的一个样本,其中X服从区间的均匀分布,其中0未, 知,求的矩估计。

。 解 ,令,故的矩估计量

4. 设是取自总体X的一个样本,X的密度函数为

其他0

其中未知,求的矩估计。

。 ,令,故的矩估计量为 5. 设是取自总体X的一个样本,X的密度函数为

其他0

其中未知,求

其他