。

解：（1）

（2）

，求

。

15. 设随机变量X,Y相互独立，X~N(1,1)，解

16. 验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式

及按公式

算得的EX值相等。这里，f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X的分布密度。 证明

17. 设X的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计的值。 D(X)2.51 解

18. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计的值。 解

所以

21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年 解

x1!

x6!

2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知 （1）写出样本的联合密度函数；

（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解 （1） 0 其他

（2）T1和T4是，T23不是。因为T1和T4中不含总体中的唯一未知参数而T2和T3中含有未知参数。 1n161（3）样本均值

221n162样本方差

，

样本标准差。 22 3. 查表求，，t0.99(12)，t0.01(12)。

，，，。 解

4. 设，求常数c，使。 解 由t分布关于纵轴对称，所以即为。 由附表5.6可查得

，所以。

5. 设是来自正态总体的样本，试证： （1）1

；

（2）。

证明：

（1）独立同分布于，由分布的定义，，

即。 （2）易见，

，即，即，由分布的定义，

。

6. 设是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个

都服从。

服从分布，并指出它的自由度； （1）试给出常数c，使得 （2）试给出常数d，使得

服从t分布，并指出它的自由度。

解

2（1）易见，即为二个独立的服从的随机变量平方和，服从

分布，即1；自由

度为2。 （2）由于，则

，又。

2

与相互独立，则 即

即，自由度为3。 2 7. 设是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求

（2）解 （1）

：（1）；（3）

，其中

。

；

（2）

（3）

3

ES

-

8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从中抽取1600人的随机样本，求：

（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解

（1）引入新变量：

，第i个样本居民年收入超过1万

0，第i个样本居民年收入没超过1万 其中 易见：

，其中

又因立。

，故可以近似看成有放回抽样，

相互独

样本中年收入超过1万的比例即为，由于即，所求概率即为

（2）同（1）解法 引入新变量：

，第i个样本居民受过高等教育

0，第i个样本居民未受过高等教育 其中

较大，可以使用渐近分布求解，

答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。

习题十解答 1. 设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计： （1），其中p未知，； （2），其中未知，。 。 解 （1），故p的矩估计量有p 另，X的分布律为， 故似然函数为

对数似然函数为：

令

。 解得p的最大似然估计量

可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

。 （2），令，故的矩估计量另，X的密度函数为

故似然函数为

L

对数似然函数为

。 解得的最大似然估计量

可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。 2. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，，求求。 解 ，故的矩估计量 由样本观测值可算得

另，X的分布律为 x!

故似然函数为

对数似然函数为

解得的最大似然估计量 。 故的最大似然估计值 3. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中0未， 知，求的矩估计。

。 解 ，令，故的矩估计量

4. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

其他0

其中未知，求的矩估计。

。 ，令，故的矩估计量为 5. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为

其他0

其中未知，求

其他