磁悬浮小球的pid控制 下载本文

第2章 磁悬浮系统的结构与建模

2.2 磁悬浮系统工作原理

电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力,控制电磁铁绕组中的电流,使之产生的电磁力与钢球的重力相平衡,钢球就可以悬浮于空中而处于平衡状态[13]。但是这种平衡是一种不稳定平衡,这是由于电磁铁与钢球之间的电磁力的大小与它们之间的距离x?t?成反比,只要平衡状态稍微受到扰动(如:加在电磁铁线圈上的电压产生脉动、周围的振动、风等),就会导致钢球掉下来或被电磁铁吸住,因此必须对系统实现闭环控制。由电涡流位移传感器检测钢球与电磁铁之间的距离x?t?变化,当钢球受到扰动下降,钢球与电磁铁之间的距离x?t?增大,传感器输出电压增大,经控制器计算、功率放大器放大处理后,使电磁铁绕组中的控制电流相应增大,电磁力增大,钢球被吸回平衡位置,反之亦然。

2.3 磁悬浮系统的数学模型

2.3.1 控制对象的运动方程

忽略小球受到的其他干扰力,则受控对象小球在此系统中只受电磁吸力F和自身的重力mg。球在竖直方向的动力学方程可以如下描述:

d2x(t)m?mg?F(i,x) (2-1) 2dt式中x为磁极到小球的气隙,单位为m;m为小球的质量,单位为Kg;F(i,x)为电磁吸力,单位为N;g为重力加速度,单位为m/s2。 2.3.2 系统的电磁力模型

由磁路的基尔霍夫定律、毕奥-萨伐尔定律和能量守恒定律有[14]:

?0AN2i2?Wm(i,x)?(2x)?0AN2i2F(i,x)????() (2-2)

?x?x2x式中?0为空气磁导率,?0?4??10?7H/m;A为铁芯的极面积,单位为m2;N为电磁铁线圈匝数;x为小球质心到电磁铁磁极表面的瞬时气隙,单位为m;i为电磁铁绕组中的瞬时电流,单位为A。

由于上式中A、N、?0均为常数,故可定义一常系数K

?0AN2 (2-3) K??29

磁悬浮小球的PID控制

则电磁力可改写为:

iF(i,x)?K()2 (2-4)

x2.3.3 电磁铁中控制电压与电流的模型

电磁铁绕组上的瞬时电感与气隙间的关系如图2.4所示。

图2.4 电磁铁电感特性[Woodson,1968]

电磁铁通电后所产生的电感与小球到磁极面积的气隙有如下关系:L(x)?LL1?0 1?x a由上式可知:

L1?L(x)?L1?L0 又因为:

L1??L0 故有:

L(x)?L1 根据基尔霍夫电压定律有:

10

(2-5)

(2-6)

(2-7)

(2-8)

第2章 磁悬浮系统的结构与建模

U(t)?Ri(t)??Ri(t)?d??m(t)?dtd?L(x)gi(t)?dtd?i(t)?dt (2-9)

?Ri(t)?L1式中L1为线圈自身的电感,单位为H;L0为平衡点处的电感,单位为H;x为小球到磁极面积的气隙,单位为m;i为电磁铁中通过的瞬时电流,单位为A;R为电磁铁的等效电阻,单位为?。 2.3.4 电磁铁平衡时的边界条件

当小球处于平衡状态时,其加速度为零,即所受合力为零,小球的重力等于小球受到的向上的电磁吸引力, 即[15]:

mg?F(i0,x0)?K(i02) (2-10) x02.3.5 电磁铁系统数学模型

综上所诉,描述磁悬浮系统的方程可完全由下面方程确定:

?d2x?mdt2?mg?F(i,x)??d?i?t????U(t)?Ri(t)?L1??dt (2-11) ??F(i,x)?K(i)2?x??mg?F(i0,x0)?K(i0)?x0?对电、力学关联方程线性化后,设系统的状态变量为x1?x,x2?x?,x3?i,则系统的状态空间方程为:

??0???x1? ?? 3 ?2ki0??X??x2???3???mx0?x3??????0????10???x1??0?2ki0?????0?2??x2???0?U (2-12)

mx0??????x3??1??R?L?0???1?L1?11

磁悬浮小球的PID控制

转化成传递函数形式:

G(s)?C(sI?A)?1B?D?k2/L1 (2-13)

s3?k3s2?k1s?k1k322ki02ki0R (2-14) k1?,k??,k??2332mx0mx0L1式中x0为小球平衡位置,单位为m;i0为平衡电流,单位为A。 2.3.6 电磁铁系统物理参数

本实验系统实际的模型参数如表2.1所示。

表2.1 实验系统参数表

参数 值 m R L1 x0 28g 13? 118mH 15.5mm 1.2A i0 K

4.587?10?5Nm2/A2 12

第3章 控制器设计

第3章 控制器设计

3.1 控制器方案选择

控制系统是主动磁悬浮系统中很重要的一环,控制系统的好坏直接影响到整个系统的性能,包括稳定性、动刚度、抗干扰能力等。控制系统选用不同的控制器方案,其数学模型是不同的。控制器方案主要有电流控制和电压控制两种方式[16]。 3.1.1 电流控制器

如果磁悬浮控制系统采用电流控制器,功率放大器输出的是电流。由式

d2xm2?kii?kxx?p(t) (3-1) dt可知,在无外力作用下,P(t)?0,经Laplace变化,得在电流控制方式下的系统传递函数:

Gi(s)??kiX(s)? (3-2) l(s)ms2?kx根据控制理论的劳斯稳定性判据:系统稳定的必要条件是传递函数分母中的各项系数必须大于零。式(3-2)缺少一次项(或一次项系数等于零),由此可以得出如下两个推论:

采用电流放大器的磁悬浮系统如果不施加控制,系统是不稳定的;

采用电流放大器的磁悬浮控制系统必须包含一次项,即控制系统必须含有微分控制环节。

3.1.2 电压控制器

如果磁悬浮控制系统采用电压放大器,功率放大器输出的是电压。将式(2-8)中的电流由电压表示代入式(2-14)中,在无外力作用下,即P(t)?0,经Laplace变化,可得电压控制方式下的系统传递函数:

G(s)?ki/mL1 (3-3) 32s?Rs/L1?kxs/m?Rkx/mL1很显然,如果不加控制,系统有可能满足劳斯稳定性判据的必要条件,但不是充分条件。由此可以得出如下推论:

采用电压放大器的磁悬浮系统不施加控制,系统也有可能稳定。这也是无源磁悬浮系统能够应用的原理依据。

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