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数系的扩充和复数的概念

3．1.1 数系的扩充和复数的概念

预习课本P102～103，思考并完成下列问题

(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？

(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？

[新知初探]

1．复数的有关概念 (1)复数

①定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i＝－1，实部是a，虚部是b.

②表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． (2)复数集

①定义：全体复数所成的集合． ②表示：通常用大写字母C表示． [点睛] 复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非bi.

2

金戈铁骑

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(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.

3．复数的分类

对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：

??实数复数z?

?虚数?

b＝0，b≠0

当a＝0时为纯虚数.

[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( ) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．( )

(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

2

2．在2＋7，i,8＋5i，(1－3)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )

7A．0 C．2 答案：C

3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a＋b＝________. 答案：5

4．设m∈R，复数z＝－1－m＋(2m－3)i. (1)若z为实数，则m＝________； (2)若z为纯虚数，则m＝________. 3

答案：(1) (2)－1

2

2

2

B．1 D．3

金戈铁骑

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复数的概念及分类 [典例] (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )

A．0 C．2

B．1 D．3

2

m2－m－62

(2)当m为何实数时，复数z＝＋(m－2m－15)i.①是虚数；②是纯虚数．

m＋3

[解析] (1)对于①，当z∈R时，z≥0成立，否则不成立，如z＝i，z＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.

[答案] B

??m＋3≠0，

(2)①当?2

?m－2m－15≠0，?

2

2

即m≠5且m≠－3时，z是虚数．

m－m－6??＝0，m＋3②当???m2－2m－15≠0，

2

即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． [一题多变]

1．[变设问]本例(2)中条件不变，当m为何值时，z为实数？

??m＋3≠0，解：当?2

?m－2m－15＝0，?

即m＝5时，z是实数．

2．[变设问]本例(2)中条件不变，当m为何值时，z>0. 解：因为z>0，所以z为实数，需满足

m－m－6??>0，

?m＋3??m2－2m－15＝0，

2

解得m＝5.

13．[变条件]已知z＝log2(1＋m)＋ilog(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．

21

解：∵z是虚数，∴log(3－m)≠0，且1＋m>0，

2

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