2019年03月25日体验的初中数学组卷 (1) 下载本文

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∵∠MHB=∠NKB=90°, ∴△MBH∽△NBK ∴

∴MH=1, ∴FM=1, ∵BC∥FG, ∴∠BCF=∠CFN, ∵∠BPC=∠MPFCB=FM, ∴△BPC≌△MPF, ∴PC=PF=FC=∵∠BQC=∠NQF, ∴△BCQ∽△NFQ, ∴∴

∴CQ=FC=∴PQ=CP﹣CQ=

=,

【点评】本题考查直角三角形的性质,矩形的性质,全等三角形的判定以及综合分析、解答问题的能力,涉及到三角函数的计算,难度偏难.

5.如图,矩形EFGD的边EF在△ABC的BC边上,顶点D、G分别在边AB、AC上、已知AB=AC=5,BC=6,设BE=x,S矩形EFGD=y. (1)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围; (2)连接EG,当△GEC为等腰三角形时,求y的值.

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【分析】(1)易证得△BDE≌△CGF,则BE=FC=x,那么EF=6﹣2x;可过A作BC的垂线,设垂足为M,根据等腰三角形三线合一的性质,可求得BM、CM的长,进而由勾股定理求得AM的长;易知△CGF∽△CAM,通过相似三角形的成比例线段即可求得GF的表达式,根据矩形的面积即可得到y、x的函数关系式; (2)Rt△EFG中,由勾股定理可求出EG的表达式;同理可在Rt△CFG中得到CG的表达式;

由于△GEC的腰和底不确定,所以要分三种情况讨论: ①CE=CG,②EG=EC,③CG=GE;

根据上述三种情况得出的三个不同的关于x的方程,即可求得x的值,再将其代入(1)的函数关系式中,即可求得y的值.(需注意x的值应符合(1)的自变量的取值范围) 【解答】解:(1)过A作AM⊥BC于M; Rt△AMC中, ∵AB=AC,AM⊥BC, ∴CM=BC=3,AC=5; 由勾股定理,得AM=∵AB=AC, ∴∠B=∠C;

∵四边形DEFG是矩形,

∴∠DEB=∠GFC=90°,DE=FG; ∴△DEB≌△GFC; ∴BE=FC=x;

易知GF∥AM,则△CFG∽△CMA; ∴

,即GF=CF?AM÷CM=x;

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=4;

∴y=(6﹣2x)×x=﹣x+8x;(0<x<3)

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(2)Rt△EFG中,FG=x,EF=6﹣2x,则EG=Rt△CGF中,易知CG=x,即CG=

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x+(6﹣2x)=

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x﹣24x+36;

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x;

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EC=6﹣x,则EC=(6﹣x)=36﹣12x+x;

①当EG=CG时,EF=FC,即6﹣2x=x,x=2;此时y=(6﹣2x)×x=②当EG=CE时,EG=CE,即x=

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x﹣24x+36=36﹣12x+x,解得x=0(舍去),

此时y=(6﹣2x)×x=

2

③当CG=CE时,CG=CE,即此时y=(6﹣2x)×x=.

x=36﹣12x+x,解得x=,x=﹣9(舍去);

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故当△CEG是等腰三角形时,y的值为:或或.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质,相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力,还考查了分类讨论的数学思想.

6.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE. (1)求证:CE=CF;

(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么? (3)根据你所学的知识,运用(1)、(2)解答中积累的经验,完成下列各题: ①如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB的中点,且∠DCE=45°,求DE的长;

②如图3,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=2,CD=3,则△ABC的面积为 15 (直接写出结果,不需要写出计算过程).

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【分析】(1)因为ABCD为正方形,所以CB=CD,∠B=∠CDA=90°,又因为DF=BE,则△BCE≌△DCF,即可求证CE=CF;

(2)因为∠BCD=90°,∠GCE=45°,则有∠BCE+∠GCD=45°,又因为△BCE≌△DCF,所以∠ECG=∠FCG,CE=CF,CG=CG,则△ECG≌△FCG,故GE=BE+GD成立;

(3)①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,利用勾股定理求得DE的长; ②由题中条件,建立图形,根据已知条件,运用勾股定理,求出AD的长,再求得△ABC的面积.

【解答】(1)证明:在正方形ABCD中 CB=CD,∠B=∠CDA=90°, ∴∠CDF=∠B=90°. 在△BCE和△DCF中,

∴△BCE≌△DCF(SAS). ∴CE=CF.

(2)解:GE=BE+GD成立.理由如下: ∵∠BCD=90°,∠GCE=45°, ∴∠BCE+∠GCD=45°. ∵△BCE≌△DCF(已证), ∴∠BCE=∠DCF.

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∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°. ∴∠ECG=∠FCG=45°. 在△ECG和△FCG中,

∴△ECG≌△FCG(SAS). ∴GE=FG. ∵FG=GD+DF, ∴GE=BE+GD.

(3)解:①如图2,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G, 由(2)和题设知:DE=DG+BE, 设DG=x,则AD=12﹣x,DE=x+6, 在Rt△ADE中,由勾股定理,得: AD+AE=DE

∴6+(12﹣x)=(x+6) 解得x=4. ∴DE=6+4=10;

②将△ABD沿着AB边折叠,使D与E重合,△ACD沿着AC边折叠,使D与G重合,

可得∠BAD=∠EAB,∠DAC=∠GAC, ∴∠EAG=∠E=∠G=90°, AE=AG=AD, BD=EB=2, DC=CG=3,

∴四边形AEFG为正方形, 设正方形的边长为x, 可得BF=x﹣2,CF=x﹣3, 在Rt△BCF中, 根据勾股定理得: BF+CF=BC,

即(x﹣2)+(x﹣3)=(2+3),

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