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∵∠MHB＝∠NKB＝90°， ∴△MBH∽△NBK ∴
，
∴MH＝1， ∴FM＝1， ∵BC∥FG， ∴∠BCF＝∠CFN， ∵∠BPC＝∠MPFCB＝FM， ∴△BPC≌△MPF， ∴PC＝PF＝FC＝∵∠BQC＝∠NQF， ∴△BCQ∽△NFQ， ∴∴
，
，
，
∴CQ＝FC＝∴PQ＝CP﹣CQ＝
＝，
．
【点评】本题考查直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定以及综合分析、解答问题的能力，涉及到三角函数的计算，难度偏难．
5．如图，矩形EFGD的边EF在△ABC的BC边上，顶点D、G分别在边AB、AC上、已知AB＝AC＝5，BC＝6，设BE＝x，S矩形EFGD＝y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）连接EG，当△GEC为等腰三角形时，求y的值．
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【分析】（1）易证得△BDE≌△CGF，则BE＝FC＝x，那么EF＝6﹣2x；可过A作BC的垂线，设垂足为M，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得BM、CM的长，进而由勾股定理求得AM的长；易知△CGF∽△CAM，通过相似三角形的成比例线段即可求得GF的表达式，根据矩形的面积即可得到y、x的函数关系式； （2）Rt△EFG中，由勾股定理可求出EG的表达式；同理可在Rt△CFG中得到CG的表达式；
由于△GEC的腰和底不确定，所以要分三种情况讨论： ①CE＝CG，②EG＝EC，③CG＝GE；
根据上述三种情况得出的三个不同的关于x的方程，即可求得x的值，再将其代入（1）的函数关系式中，即可求得y的值．（需注意x的值应符合（1）的自变量的取值范围） 【解答】解：（1）过A作AM⊥BC于M； Rt△AMC中， ∵AB＝AC，AM⊥BC， ∴CM＝BC＝3，AC＝5； 由勾股定理，得AM＝∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C；
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEB＝∠GFC＝90°，DE＝FG； ∴△DEB≌△GFC； ∴BE＝FC＝x；
易知GF∥AM，则△CFG∽△CMA； ∴
，即GF＝CF?AM÷CM＝x；
2
＝4；
∴y＝（6﹣2x）×x＝﹣x+8x；（0＜x＜3）
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（2）Rt△EFG中，FG＝x，EF＝6﹣2x，则EG＝Rt△CGF中，易知CG＝x，即CG＝
2
2
2
2
x+（6﹣2x）＝
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x﹣24x+36；
2
x；
2
2
EC＝6﹣x，则EC＝（6﹣x）＝36﹣12x+x；
①当EG＝CG时，EF＝FC，即6﹣2x＝x，x＝2；此时y＝（6﹣2x）×x＝②当EG＝CE时，EG＝CE，即x＝
；
；
2
2
2
2
2
；
x﹣24x+36＝36﹣12x+x，解得x＝0（舍去），
此时y＝（6﹣2x）×x＝
2
③当CG＝CE时，CG＝CE，即此时y＝（6﹣2x）×x＝．
x＝36﹣12x+x，解得x＝，x＝﹣9（舍去）；
22
故当△CEG是等腰三角形时，y的值为：或或．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，还考查了分类讨论的数学思想．
6．如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE． （1）求证：CE＝CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？ （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB的中点，且∠DCE＝45°，求DE的长；
②如图3，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝2，CD＝3，则△ABC的面积为 15 （直接写出结果，不需要写出计算过程）．
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【分析】（1）因为ABCD为正方形，所以CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°，又因为DF＝BE，则△BCE≌△DCF，即可求证CE＝CF；
（2）因为∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，则有∠BCE+∠GCD＝45°，又因为△BCE≌△DCF，所以∠ECG＝∠FCG，CE＝CF，CG＝CG，则△ECG≌△FCG，故GE＝BE+GD成立；
（3）①过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长； ②由题中条件，建立图形，根据已知条件，运用勾股定理，求出AD的长，再求得△ABC的面积．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中 CB＝CD，∠B＝∠CDA＝90°， ∴∠CDF＝∠B＝90°． 在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）． ∴CE＝CF．
（2）解：GE＝BE+GD成立．理由如下： ∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°， ∴∠BCE+∠GCD＝45°． ∵△BCE≌△DCF（已证）， ∴∠BCE＝∠DCF．
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∴∠GCF＝∠GCD+∠DCF＝∠GCD+∠BCE＝45°． ∴∠ECG＝∠FCG＝45°． 在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE＝FG． ∵FG＝GD+DF， ∴GE＝BE+GD．
（3）解：①如图2，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G， 由（2）和题设知：DE＝DG+BE， 设DG＝x，则AD＝12﹣x，DE＝x+6， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得： AD+AE＝DE
∴6+（12﹣x）＝（x+6） 解得x＝4． ∴DE＝6+4＝10；
②将△ABD沿着AB边折叠，使D与E重合，△ACD沿着AC边折叠，使D与G重合，
可得∠BAD＝∠EAB，∠DAC＝∠GAC， ∴∠EAG＝∠E＝∠G＝90°， AE＝AG＝AD， BD＝EB＝2， DC＝CG＝3，
∴四边形AEFG为正方形， 设正方形的边长为x， 可得BF＝x﹣2，CF＝x﹣3， 在Rt△BCF中， 根据勾股定理得： BF+CF＝BC，
即（x﹣2）+（x﹣3）＝（2+3），
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