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的中线等于斜边的一半．

9．已知：如图，BP，CP是△ABC的外角平分线，证明：点P一定在∠BAC的角平分线上．

【分析】过点P分别作AM、BC、AN的垂线PE、PF、PD，E、F、D为垂足．根据角平分线的性质可得PE＝PD，PD＝PF，进而可得出结论．

【解答】证明：过点P分别作AM、BC、AN的垂线PE、PF、PD，E、F、D为垂足， ∵CP是∠MCB的平分线， ∴PE＝PD． 同理：PF＝PD． ∴PE＝PF．

∴点P在∠BAC的平分线上．

【点评】本题考查角平分线性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 10．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E． （1）若BC＝5，求△ADE的周长． （2）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算；

（2）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C＝60°，根据等边对等角、结合图形计算即可．

【解答】解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E， ∴DA＝DB，EA＝EC，

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∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝DB+DE+EC＝BC＝5； （2）∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝60°， ∵DA＝DB，EA＝EC， ∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，

∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝60°．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

11．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的关系，并说明理由．

【分析】根据角平分线的性质得到AF＝FG，∠AFC＝∠CED，根据等腰三角形的性质证明即可．

【解答】证明：∵CF是∠ACB的平分线，∠BAC＝90°，FG⊥BC， ∴FA＝FG，∠AFC＝∠CED， ∵∠AEF＝∠CED， ∴∠AEF＝∠AFC， ∴AE＝AF， ∴AE＝FG，

∵AD⊥BC，FG⊥BC， ∴AE∥FG，

∴AE＝FG，AE∥FG．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

12．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD的位置关系，再证明你的结论．

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【分析】连接BM、DM，根据直角三角形的性质得到BM＝AC，DM＝AC，得到BM＝DM，根据等腰三角形的三线合一证明． 【解答】解：MN⊥BD， 证明：连接BM、DM，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点， ∴BM＝AC，DM＝AC， ∴BM＝DM，又N是BD的中点， ∴MN⊥BD．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

13．已知，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，AB的垂直平分线分别交AB，AC，AD于点E，F，O． （1）求证：AO＝BO＝CO；

（2）若S△AOB＝12，AB＝6，求点O到AC的距离．

【分析】（1）根据垂直平分线的性质解答即可；

（2）过点O作OH垂直AC于点H，利用三角形的面积公式解答即可． 【解答】证明：（1）∵EF垂直平分AB，

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∴AO＝BO，

∵AD平分∠CAD，AB＝AC， ∴OB＝OC， ∴AO＝BO＝CO；

（2）过点O作OH⊥AC于点H，∵AD平分∠CAD，OE⊥AB， ∴OE＝OH， ∵∴

∴OH＝OE＝4．

， ，

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

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