量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程 下载本文

I.波函数与Schrodinger方程

1. 经典波有波函数吗? 量子波函数与经典波函数有什么异同?

答:波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念.任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描

对 和 的函数——波函数可写为

述量子态而不常用于经典波.经典波例如沿 轴方向传播的平面单色波,波动动量

,其复指数形式为 ,波函数 给出了传播方向上时刻 在点处的振动

状态。经典波的波函数通常称之为:波的表达式或波运动方程.量子力学中,把德布罗意关系 p = k 及 E = ω 代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 )

.

经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数,而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别.经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系.量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量.概率波函数虽是态函执但本身不是力学量.态函数给出的也不是物理量间的关系.概率波函数的意义是:由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽.作为一种约定的处理方法,经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义.而概率波函数一般应为复函数.非相对论量子力学中,粒子不产生出不泯灭.粒子一定在全空间中出现,导致了概率被函数归一化问题,而经典波则不存征这个问题.概率波函数乘上一常数后,粒子在空间各点出现的相对概率不变.因而,仍描述原来的状态.而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态,振幅为零的态表示静止态.而量子力学中,振幅处处为零的态 存在粒子.另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程.

2 .波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述,这里“完全'的含义是什么?波函数归一化的含义又是什么 ?

表示不

答:按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态.如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为 ,

则不仅可确定粒子的位置概率分布,而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定.出于量子理论与经典

理论不同,它一般只能预言测量的统计结果.而只要已知体系波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息.从这个意义上着,有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中,所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述,并把波函数称为态函数.非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭.根据波函数的统计解释,在任何时刻,粒子一定在空间出现,所以,在整个空间中发现粒子是必然事件.概率论中认为必然事件的概率等于 1 .因而,粒子在整个空间中出现的概率即概率密度

整个空间积分应等于1 .式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分.这个条件称为归一化条

件.满足归一化条件的波函数称为归一化波函数.显然,平方可积波函数才可以归一化.

3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的,即求证,其中 , 为几率密度, 为几率流

密度。

证:几率密度和几率流密度的表达式为:

,,

因此速度场为:

其旋度为:

4 . 粒子在一维势场 V(x) 中运动,试证明:属于不同能级的束缚态波函数互相正交.

证:设,分别为属于能级 , 的束缚态波函数.由于是一维束缚态, 都是实函数,故只需证

均应满足定态薛定谔方程,即

( 1 )

( 2 )

以 左乘式( 1 ), 左乘式( 2 ),再相减,即得

对全空间积分,得到

(束缚态波函数在无穷远处必须趋于 0 )。因此, ,就有

( 3 )

亦即 与 正交。

5. 粒子在深度为 Vo ,宽度为 a 的直角势阱 ( 如下图 ) 中运动,求:

(a) 阱口刚好出现一个束缚态能级 ( 即 ) 的条件。

(b) 束绍态能级总数.并和无限深势阱作比较。

解: 粒子能量 E 小于 Vo 时为束缚态, E 大于 Vo 时为游离态.定态薛定房方程为:

( 1 )

令( 2 )

式( 1 )可以写成

(阱内) ( 3 )

(阱外) ( 4 )

无限远处束缚态波函数应趋于 0 ,因此式 (4) 的解应取为

( 5 )