I.波函数与Schrodinger方程

1. 经典波有波函数吗？ 量子波函数与经典波函数有什么异同？

答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描

对 和 的函数——波函数可写为

述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿 轴方向传播的平面单色波，波动动量

，其复指数形式为 ，波函数 给出了传播方向上时刻 在点处的振动

状态。经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝ k 及 E ＝ ω 代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 )

.

经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态 存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．

2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?

表示不

答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为 ，

则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典

理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度

对

整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条

件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．

3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中 ， 为几率密度， 为几率流

密度。

证：几率密度和几率流密度的表达式为：

，，

因此速度场为：

其旋度为：

4 ． 粒子在一维势场 V(x) 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数互相正交．

明

证：设,分别为属于能级 ， 的束缚态波函数．由于是一维束缚态， 都是实函数，故只需证

均应满足定态薛定谔方程，即

（ 1 ）

（ 2 ）

以 左乘式（ 1 ）， 左乘式（ 2 ），再相减，即得

对全空间积分，得到

（束缚态波函数在无穷远处必须趋于 0 ）。因此， ，就有

（ 3 ）

亦即 与 正交。

5. 粒子在深度为 Vo ，宽度为 a 的直角势阱 ( 如下图 ) 中运动，求：

(a) 阱口刚好出现一个束缚态能级 ( 即 ) 的条件。

(b) 束绍态能级总数．并和无限深势阱作比较。

解： 粒子能量 E 小于 Vo 时为束缚态， E 大于 Vo 时为游离态．定态薛定房方程为：

（ 1 ）

令（ 2 ）

式（ 1 ）可以写成

（阱内） （ 3 ）

（阱外） （ 4 ）

无限远处束缚态波函数应趋于 0 ，因此式 (4) 的解应取为

（ 5 ）