三十五章 尺规作图
7. （2012浙江省绍兴，7，3分）如图，AD为⊙O直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）
A.甲、乙均正确 B.甲、乙均错误
C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确
【解析】将圆三等分，依次连结各等分点，即可作出圆内接正三角形 ． 【答案】A
【点评】本题主要考查圆内接正三角形的作法和判定以及圆的有关知识．
19．(2012山东德州中考,19,8,)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）l2
A B l1
19．【解析】分析此题的条件可知，要想到A、B两点的距离相等，可知点C必在AB的垂直平分线上；要想到两公路的距离相等，必须在两公路夹角的角平分线上．作出二者的交点即为所求．注意两公路夹角的角平分线不止一条．
解：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公
路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点. ⑴ 作两条公路夹角的平分线OD或OE；
⑵ 作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.
C2 F l2 A C1D B l1
O G E …………………（8分）
注：本题学生能正确得出一个点的位置得6分，得出两个点的位置得8分．
【点评】此题综合考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，解答此类题不要漏电所有符合条件的点，要注意在角的外部也有符合条件的点．
（2）（2012贵州铜仁，19（2），5分）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）
【分析】根据垂直平分线上的点到两个端点的距离相等，连接AB并作AB的垂直平分线，然后以C点为圆心，以AB的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点，即为所求的点M位置
【解析】作图1、连结AB
2、作出线段AB的垂直平分线
19(2)题图
3、以C点为圆心，以AB的长度一半为圆心画弧，与垂直平分线交于一点M
4、 在矩形中标出点M的位置
【点评】此题看出来图形设计作图与实际应用，本题主要利用垂直平分线的作法，属于基本作图，应牢固掌握。但应该注意的是， 作图时必须保留尺规作图的痕迹，痕迹不全要扣分，无圆规痕迹不给分．
24.（2012贵州贵阳，24，12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.
（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；（4分） （2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（4分）
（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD,且S△ABC A B C 图① 第24题图 图② D 解析： （1）三角形的三条中线都平分三角形的面积，过对角线的交点的任意一条直线都平分平行四边形的面积；（2）过矩形和正方形的对角线的交点画直线即平分其面积；运用面积法画一个与△ABC的面积相等的底边在直线CD上的三角形，把四边形的面积等分线问题转化 O2 O1 图① C E 第24题图 F 图② D A B 为三角形的面积等分线问题. 解：（1）3，无数； （2）如图①所示,直线O1O2即是其中的一条； ∵BE∥AC,∴S△AEC=S△ABC, ∴S四边形ABCD=S△AED, ∵F是DE的中点, ∴S△AEF=S△AFD= S 22∴直线AF即是四边形ABCD的面积等分线. 1（3）如图②所示，直线AF就是，其中BE∥AC,点F是DE的中点；理由 1S△AED= 四边形ABCD , 点评：本题属于阅读理解问题，其关键有三个：（1）理解什么是面积等分线；（2）三角形和平行四边形的面积等分线；（3）其他图形怎样转化为三角形的组合或平行四边形的组合. 专项一 尺规作图（35） （2012河北省7,3分）7、如图3点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了CN∥OA，作图痕迹中，弧FG是 （ ） Ａ．以点C为圆心，OD为直径的弧 Ｂ．以点C为圆心， DM为直径的弧 Ｃ．以点E为圆心，OD为直径的弧 Ｄ．以点E为圆心，DM为直径的弧 【解析】根据尺规作图中做一个角等于已知角的作图方法，可知正确地表述为D。 【答案】D 【点评】河北省两次考查尺规作图：今年和去年，在教学中多关注此部分，培养学生动手动脑的能力，属于简单题型。 10.（2012河南，10，3分）如图，在△ABC，?C?90?，?CAB?50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径，画弧，分别交AB， AC于点E、F；②分别以点E,F为圆心，大于 12与点D，则?ADC的度数为 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边 10. 解析：根据作图可知AG平分∠CAB，由直角三角形两锐角互余，所以∠ADC=90°－25°=65°. 答案：65° 点评：本题把尺规作图和角平分线性质结合起来考查，形式灵活，新颖. 21.（2012年广西玉林市，21，6）已知等腰△ABC的顶角∠A=36°（如图），（1）作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹，然后用墨水笔加黑）； （2）通过计算说明△ABD和△BDC都是等腰三角形． 分析：（1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，两弧交AB、BC于M、N两点；再分别以M、 N为圆心，大于 MN长为半径画弧，两弧交于一点O，画射线BO交AC于D． 2（2）根据三角形内角和为180°计算出∠ABC，∠C，∠CDB，∠ABD，∠DBC的度数，再根据等角对等边可证出结论． 解：（1）如图所示： 1 BD即为所求； （2）∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°-36°）÷2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，∴∠CDB=180°-36°-72°=72°，∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，∴AD=DB，BD=BC，∴△ABD和△BDC都是等腰三角形． 点评：此题主要考查了作角平分线，以及等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：等角对等边． 13. （2012珠海，13，6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线. （1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN； （保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状. (只写结果) 【解析】（1）尺规作∠ADC的平分线DN； （2）在△ABC中，∵AB=AC，AD是高，∴AD平分∠BAC.又AM平分∠CAE, ∴AD⊥AM. ∵AD是高，DN平分∠ADC,交AM于F,∴∠ADF＝45°. ∴∠AFD＝45°. ∴AD＝AF.即△ADF是等腰直角三角形. 【答案】解:（1）作射线DN,如第13题图-1. EAFNMBOD第13题图-1C （2）△ADF是等腰直角三角形. 【点评】本题考查（1）尺规作已知角的平分线;（2）等腰直角三角形的判定.基础题.