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Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2?f(xk?1)/f?(xk?1) ?2(?f(xk?2)/f?(xk?2))Rk?1?(xk?1?xk)/(xk?xk?1)2?f(xk)/f?(xk) ?2(?f(xk?1)/f?(xk?1))Rk?1?Rk??f(xk)/f?(xk)?f(xk?1)/f?(xk?1)? (?f(xk?1)/f?(xk?1))2(?f(xk?2)/f?(xk?2))22x??11. 用牛顿法（4.13）和求重根迭代法（4.14）计算方程f(x)??sinx???0 2??的一个近似根，准确到10?5 ，初始值x0?牛顿法（4.13），m=2。 ?2 。 xk??sinx?k??f(xk)2??xk?1?xk?m?xk?xk??1?f?(xk)?sinx?cosx?k?k? ??2??2???5需要计算到10，取??3.1415926。x*?x(7)?1.8955 2求重根迭代法（4.14） xk?1?xk?f(xk)f?(xk)[f?(xk)]2?f(xk)f??(xk)2?sinx?0.5x??2?sinx?0.5x??cosx?0.5?? ?22?2?sinx?0.5x??cosx?0.5????sinx?0.5x???2sinx?cosx?0.5???5需要计算到10，取??3.1415926。x*?x(13)?1.8955。 注：matlab编程计算得出的结果。 12. 应用牛顿法于方程x3?a?0，导出求立方根3a的迭代公式，并讨论其收敛性。 f(xk)xk3?a1?a?xk?1?xk??xk??2x??k?f?(xk)3xk23?xk2? . 学习参考 .
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f(xk)1?a??xk??2xk?2??xkf?(xk)3?xk?xka?xk3a???23xk33xk2 xk?1?xk?xk?a?xk3xk?1?xk??023x?a3xk当0时，，说明迭代数列递增。 a?xk3xk?1?xk??0233xk当x0?a时，，说明迭代数列递减。 f(xk)xk3?a1?a?x?x??x??2x??k?是收敛的。 因此，迭代公式k?1kkf?(xk)3xk23?xk2?13. 应用牛顿法于方程f(x)?1?值。 af(xk)xk2xk?1?xk??xk??f(xk)2axk?31??3axk?2?1??3axk?xk3???????3?2ax2a?k???xk33?xk?22ax0?10a?0，导出求a的迭代公式，并求115的x2 令x2?10.7231 x3?10.7238x4?10.7238x1?10.652214. 应用牛顿法于方程f(x)?xn?a?0和f(x)?1?迭代公式，并求lim(na?xk?1)/(na?xk)2。 k??a?0，分别导出求na的nxf(x)?xn?a?0的迭代公式： . 学习参考 .
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f(xk)xkn?axk?1?xk??xk?f?(xk)nxkn?1(n?1)xkn?a?nxkn?1?n?1axk?nnxkn?1nn lima?xk?12a?k??(a?xk)n?lim(n?1)axk?n?1nnxk(a?xk)?limn2k???lim(n?1)n(n?1)(a?xk)n?2(na?xk)nxkk???lim?n?1?n(n?1)xkn?1n?2n[nnaxk?(n?1)xk]k??k??2[nna?(n?1)xk] (n?1)2[nna?(n?1)na]?1?n2na f(x)?1?a?0nx的迭代公式 f(xk)1?axk?nxk?1?xk??xk??f(xk)naxkn?1(n?1)axk?n?1?naxk?n?1xkn?1n?1?xk?nnan lima?xk?12nk??(a?xk)n?limk??n?1(n?1)axk?xka?n?1nana?(n?1)axk?xkna?lim2nk??(a?xk)na(na?xk)2n?1(n?1)nxk?lim?limnk??2na?2na(a?xk)k??n(n?1)(xk?a)?limn?(n?1)a?(n?1)xkk???2na(a?xk)n?1nn ?(n?1)a2a?n?12na2xk(xk?3a)是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠?23xk?a15. 证明迭代公式xk?1近x*，求lim(a?xk?1)/(a?xk)2。 k??解： . 学习参考 .
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2xk(xk?3a)a?23xk?alima?xk?1(a?xk)3k???limk??(a?xk)?lim3?lim22a(3xk?a)?xk(xk?3a)2(a?xk)3(3xk?a)k?? ?lim(a?xk)32(a?xk)3(3xk?a)k??111??k??3x2?a3(a)2?a4ak16.用抛物线法求多项式p(x)?4x4?10x3?1.25x2?5x?1.5的两个零点，再利用降阶求出全部零点。 22??3x1?x2?0T(0.4,0.7)17.非线性方程组? 在 附近有一个解，构造一个不动23??3x1x2?x1?1?0点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到10?5（按??）。 22?T?x?y?1(0)18.用牛顿法解方程组?2 取。 x?1.6,1.2??2??x?y?1
. 学习参考 .