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2019年北京市海淀区高三一模数学【理科】试题及答案

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合A??1,2,?,集合B?yy?x2,x?A,则A??1?2???B?

A.?? B.?2? C.?1? D.? 2.复数z??1?i??1?i?在复平面内对应的点的坐标为

A. (1,0) B. (0,2) C.?0,1? D. (2,0) 3.下列函数f(x)图象中,满足f()?f(3)?f(2)的只可能是

?1??2?14y y y y O 1x 1O 11x O 1 x O 1x

A B

C D

?x?1?t,(t为参数),则直线l的普通方程为

?y??1?tA.x?y?2?0 B.x?y?2?0 C.x?y?0 D.x?y?2?0

5.在数列?an?中,“an?2an?1,n?2,3,4,”是“?an?是公比为2的等比数列”的

4.已知直线l的参数方程为? A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6. 小明有4枚完全相同的硬币,每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有

A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种

7.某购物站在2013年11月开展“全场6折”促销活动,在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”.某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件,为使花钱总数最少,他最少需要下的订单张数为

A.1 B.2 C.3 D.4 8. 已知A(1,0),点B在曲线G:y?ln(x?1)上,若线段AB与曲线M:y?则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点.记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a,则 A.a?0 B.a?1 C.a?2 D.a?2 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为______.

10. 函数y?x?x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于_______.

主视图331相交且交点恰为线段AB的中点,x8侧视图

11.如图,AB切圆O于B,AB?3,AC?1,则AO的长为_______.

O 1212. 已知圆x?y?mx??0与抛物线y?4x的准线相切,则m?_______. 422A C B

13.如图,已知?ABC中,?BAD?30,?CAD?45,AB?3,AC?2,

A则

BD?_____________. DC

BD14.已知向量序列:a1,a2,a3,,an,满足如下条件:

|a1|?4|d|?2,2a1?d??1且an?an?1?d(n?2,3,4,).

若a1?ak?0,则k?________;|a1|,|a2|,|a3|,,|an|,中第_____项最小.

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)

已知函数f(x)?2sin(Ⅰ)求g(0)的值;

Cππxcosx,过两点A(t,f(t)),B(t?1,f(t?1))的直线的斜率记为g(t). 6633(II)写出函数g(t)的解析式,求g(t)在[?,]上的取值范围.

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16. (本小题满分13分)

为了解甲、乙两个快递公司的工作状况,假设同一个公司快递员的工作状况基本相同,现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员,并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据,制表如下:

甲公司某员工A 乙公司某员工B 3 9 6 5 8 3 3 2 3 4 6 6 6 7 7 0 1 4 4 2 2 2 每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下: 甲公司规定每件4.5元;乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元,超出35件的部分每件7元. (Ⅰ)根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数;

(Ⅱ)为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况,从这10天中随机抽取1天,他所得的劳务费记为X(单

位:元),求X的分布列和数学期望;

(Ⅲ)根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.

17. (本小题满分14分)

如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°,∠ABC=90°,D为AC中点,AE?BD于E,延长AE交BC于F,将?ABD沿BD折起,使平面ABD?平面BCD,如图2所示. (Ⅰ)求证:AE⊥平面BCD; (Ⅱ)求二面角A–DC –B的余弦值.

EM//平面ADC?若存在,请指明点M(Ⅲ)在线段AF上是否存在点M使得A的位置;若不存在,请说明理由.

A D

BEFCD 图 1

18. (本小题满分13分)

已知曲线C:y?eax.

(Ⅰ)若曲线C在点(0,1)处的切线为y?2x?m,求实数a和m的值;

(Ⅱ)对任意实数a,曲线C总在直线l:y?ax?b的上方,求实数b的取值范围.

19. (本小题满分14分)

已知A,B是椭圆C:2x2?3y2?9上两点,点M的坐标为(1,0).

图 2(Ⅰ)当A,B两点关于x轴对称,且?MAB为等边三角形时,求AB的长; (Ⅱ)当A,B两点不关于x轴对称时,证明:?MAB不可能为等边三角形.

20. (本小题满分13分)

在平面直角坐标系中,对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横纵坐标都是整数的点)A(n):

,Bn,其中n?3,若同时满足:

①两点列的起点和终点分别相同;②线段AiAi?1?BiBi?1,其中i?1,2,3,,n?1, 则称A(n)与B(n)互为正交点列. (Ⅰ)求A(3):A1(0,2),A2(3,0),A3(5,2)的正交点列B(3); (Ⅱ)判断A(4):A1(0,0),A2(3,1),A3(6,0),A4(9,1)是否存在正交点列B(4)?并说明理由; (Ⅲ)?n?5,n?N,是否都存在无正交点列的有序整点列A(n)?并证明你的结论. A1,A2,A3,

参考答案

数 学 (理科) 阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1. C 2. D 3. D 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B

,An与B(n):B1,B2,B3,