AE+BE>AB,C1E?D1E>C1D1

?BC1?AD1?AB?C1D1

即BC+AD>AB+CD

7. 在直角梯形ABCD中，AB是垂直二底的腰，另一腰切以AB为直径之圆于E，过E作底的平行线交AB于F，求证AC平分EF A D

F E E B C G

证明：连结AE并交于的延长线于G 如图

因为AD=DE ??AED=?DAE

又?AED=?CEG 因为AD//BC? AD//BG

??DAE=?EGC ? ?EGC= ?GEC ?CE=CG 又因为 BC=CE ? BC=CG ?C是BG的中点

?M也是EF的中点

?FM=ME ?AC平分EF

8、在梯形ABCD的底边AD上有一点E，使△ABE、△BCE、△CDE的周长相等。 求证：BC=

AD2

B

C’

C

A

E

D

证明：如下图

在BC边或其延长上取点C′，使BC′=AE,

∵ABCD是平行四边形 ∴AD//BC? 又∵AE=BC?

∴AEC?B是平行四边形 ∴AB=EC?

∴△ABE、△BEC?周长相等 又∵△ABE、△BEC周长相等 ∴C?=C ∴BC=AE 同理 BC=ED

∴BC=

1AD 2

9、在△ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，D为BC上 的任一点，过D作DP∥CF交BF于P,作DQ∥BE交CE 于Q，连结PQ分别交BE、CF于R、S，求证：RS=1PQ

3

A F P H R S E B G D C 证明：FC

与DQ的交点为G，BE与FC的交点为H

HE1? EB3 由题知点H为△ABC的重心，则 ∵FC∥PD ∴

SQQG ?QPQD 又∵QD∥EB ∴ ∴

GQHE? QDEBSQGDHE11??? ∴SQ=QP QPQDEB33 同理可证得PR=QP ∴RS=PQ

131310.以矩形ABCD的各顶点为中心，分别以rA，rB，rC，rD为半径作圆，使rA?rC?rB?rD?AC，再作两对圆☉A、☉C、☉B、☉D

的

四条外公切线。

求证：这四条外公切线围成的四边形有一内切圆。

MQNABOEDCEF

证明：连结AC、BD交于O，

☉A、☉C的两条公切线为EF、MN，E、F、M、N为切

点。

连AE、CF过点O作OP⊥EF，垂足为P，作OQ⊥MN，垂足为Q

∴四边形ACFE为直角梯形 ∴OP?(AE?CF)?(rA?rC) 同理 OQ?(AM?AN)?(rA?rC)

同理 点O到其他一对公切线长为(rB?rD) 又rA?rC?rB?rD

1212121212∴点到4条公切线的距离相等 ∴4条公切线所围成的四边形有内切圆

11.在凸六边形ABCDEF中，所有的内角相等，求证：AB-DE=EF-BC=CD-FA

ERPFQDC

证明：∵六边形各内角相等， ∴其内角皆为120° ∴各对边互相平行 作□ABCP □CDEQ PQ=∣AB-DE∣ 同理，再作□AFEQ，则

PR=∣AB-DE ∣ QR=∣CD-AF∣ ∵PQR各内角皆为60° ∴PQ=QR=RP ∴AB-DE=EF-BC=CD-FA

AB

12.利用上题，若长度分别为a1,a2……a6的线段，且满足条件

a1-a4=a2-a5=a3-a6

求证：这6条线段可以作为一个各内角皆相等的凸六边形，

ERPFABQDC 证:利用上题结果，可如下作之：