[基础题组练]
→1→→→
1.(2019·石家庄质量检测(一))在△ABC中,点D在边AB上,且BD＝DA,设CB＝a,CA＝b,
2→
则CD＝( )
12A.a＋b 3334C.a＋b 55
21B.a＋b 3343D.a＋b 55
→1→→1→→→→→1→→1→
解析:选B.因为BD＝DA,所以BD＝BA,所以CD＝CB＋BD＝CB＋BA＝CB＋(CA－
2333→2→1→21
CB)＝CB＋CA＝a＋b,故选B.
3333
→→2.在△ABC中,AB＝2,BC＝3,∠ABC＝60°,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO＝λAB→
＋μBC,其中λ,μ∈R,则λ＋μ等于( )
A.1 1C. 3
→→→→1→
解析:选D.由题意易得AD＝AB＋BD＝AB＋BC,
3→→1→→1→1→所以2AO＝AB＋BC,即AO＝AB＋BC.
326112
故λ＋μ＝＋＝. 263
3.已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R),d＝a－b,如果c∥d,那么( ) A.k＝1且c与d同向 B.k＝1且c与d反向 C.k＝－1且c与d同向 D.k＝－1且c与d反向
解析:选D.由题意可设c＝λd,即ka＋b＝λ(a－b),(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a,b不共线,所以
??λ－k＝0，?所以k＝λ＝－1,所以c与d反向,故选D. ?λ＋1＝0.?
1
B. 22D. 3
→2→→1→→→→λ
4.如图,在△ABC中,AD＝AC,BP＝BD,若AP＝λAB＋μAC,则的值为( )
33μ
A.－3 C.2
→→→
解析:选B.因为AP＝AB＋BP,
B.3 D.－2
→1→1→→1→1→12→1→2→1→BP＝BD＝(AD－AB)＝AD－AB＝×AC－AB＝AC－AB,
3333333932→1→?2→2→→→所以AP＝AB＋??9AC－3AB?＝3AB＋9AC； 22→→→
又AP＝λAB＋μAC,所以λ＝,μ＝；
39
λ29
所以＝×＝3.故选B.
μ32
→→→
5.(2019·辽宁丹东五校协作体联考)P是△ABC所在平面上的一点,满足PA＋PB＋PC＝→
2AB,若S△ABC＝6,则△PAB的面积为( )
A.2 C.4
B.3 D.8
→→→→→→→→→→→→
解析:选A.因为PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA),所以3PA＝PB－PC＝CB,所以PA∥CB,→
S△ABCBC|CB|S△ABC且方向相同,所以＝＝＝3,所以S△PAB＝＝2.
3S△PABAP→
|PA|
→→→→→→
6.若|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2,则|AB＋AC|＝________.
→→→→→→
解析:因为|AB|＝|AC|＝|AB－AC|＝2,所以△ABC是边长为2的正三角形,所以|AB＋AC|→→
为△ABC的边BC上的高的2倍,所以|AB＋AC|＝23.
答案:23
→→→→→
7.已知O为△ABC内一点,且2AO＝OB＋OC,AD＝tAC,若B,O,D三点共线,则t的值为________.
→→→
解析:设线段BC的中点为M,则OB＋OC＝2OM. →→→→→因为2AO＝OB＋OC,所以AO＝OM,
→1→1→→1→1→?1→1→
AB＋AD＝AB＋AD. 则AO＝AM＝(AB＋AC)＝?t?4244?4t111
由B,O,D三点共线,得＋＝1,解得t＝.
44t31
答案:
3
→1→→
8.在△ABC中,∠A＝60°,∠A的平分线交BC于点D,若AB＝4,且AD＝AC＋λAB(λ∈R),
4
则AD的长为________.
13
解析:因为B,D,C三点共线,所以＋λ＝1,解得λ＝,如图,过点D分别
44→1→→3→
作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则AN＝AC,AM＝AB,经计算得
44AN＝AM＝3,AD＝33.
答案:33
9.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB＝→→→→
2GE,设AB＝a,AC＝b,试用a,b表示AD,AG.
11→1→→
解:AD＝(AB＋AC)＝a＋b.
222
→→→→2→→1→→2→1→→1→1→11
AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.
33333333→→→→
10.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设OP＝mOA,OQ＝nOB,m,n∈R,11
求＋的值. nm
→→→1
解:设OA＝a,OB＝b,则OG＝(a＋b),
3→→→
PQ＝OQ－OP＝nb－ma,
11→→→1
－m?a＋b. PG＝OG－OP＝(a＋b)－ma＝??3?33→→
由P,G,Q共线得,存在实数λ使得PQ＝λPG, 11
－m?a＋λb, 即nb－ma＝λ??3?31
－m?，－m＝λ??3?11
则消去λ,得＋＝3.
nm1
n＝λ，3
???
[综合题组练]
1.(应用型)已知向量a,b不共线,且c＝λa＋b,d＝a＋(2λ－1)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为( )
A.1 1
C.1或－
2
1B.－
21
D.－1或－
2
解析:选B.由于c与d反向共线,则存在实数k使c＝kd(k＜0),于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b].
??λ＝k，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a,b不共线,所以有?整理得2λ2－λ－1＝0,
?2λk－k＝1，?