2.6 正态分布

双基达标 ?限时15分钟?

1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________.

1

解析 由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝2. 1

答案 2

2．若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则X在区间(－3,3]上取值的概率等于________． 答案 0.997

3．设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．

解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－1

＝2，∴c＝2. 2答案 2

4．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________. 解析 ∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4， 1

∴P(X＞2)＝2(1－2×0.4)＝0.1. 答案 0.1

5．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．

解析 由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点． 答案 0.2

6．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝(1)求正态分布密度函数的解析式；

(2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几． 解 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，

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1

. 82π

所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值． 因此得μ＝80，

11

＝，所以σ＝8. 2π·σ82π

故正态分布密度函数的解析式是

(2)由μ＝80，σ＝8，得

μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，

所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.

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7．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)＝P(x)为偶函数；②P(x)的最大值为

，有下列四种说法：①

1

；③P(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤02π

时是单调增函数；④P(x)关于σ＝1对称．不正确的是________(填序号)． 解析 X～N(0,1)，∴曲线的对称轴为x＝μ＝0. 答案 ④

8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________． 解析 由已知得μ＝116，σ＝8.

∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4， 1

∴P(X＞140)＝2(1－0.997 4)＝0.001 3， ∴成绩在140以上的人数为13. 答案 13

9．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是________．

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解析 由已知得12πσ＝1

， 22π

∴σ2＝1.

由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以0＜σ1＜σ2＝1＜σ3. 答案 0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 ．设X～N(0,1)．

①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)； ②P(X＜0)＝0.5；

③已知P(－1＜X＜1)＝0.682 6， 则P(X＜－1)＝0.158 7； ④已知P(－2＜X＜2)＝0.954 4， 则P(X＜2)＝0.977 2；

⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.997 4， 则P(X＜3)＝0.998 7.

其中正确的有________(只填序号)．

解析 正态曲线关于y轴对称，故①②正确． 对于③，P(X＜－1)＝1

2(1－P(|X|＜1))， ＝1

2(1－0.682 6)＝0.158 7， 故③正确；对于④，P(X＜2) ＝1

2(1－P(|X|＜2))＋P(|X|＜2) ＝1

2(1－0.954 4)＋0.954 4＝0.977 2； 故④正确，同理⑤正确． 答案 ①②③④⑤

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1011．若一批白炽灯共有10 000只，其光通量X服从正态分布，其正态分布密度

函数是f(x)＝的灯泡的个数．

(1)(203,215)；(2)(191,227)．

，x∈(－∞，＋∞)，试求光通量在下列范围内

解 由于X的正态分布密度函数为

f(x)＝

∴μ＝209，σ＝6.

，x∈(－∞，＋∞)，

∴μ－σ＝209－6＝203，μ＋σ＝209＋6＝215. μ－3σ＝209－6×3＝209－18＝191， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18＝227.

因此光通量X的取值在区间(203,215)，(191,227)内的概率应分别是0.682 6和0.997 4.

(1)于是光通量X在(203,215)范围内的灯泡个数大约是10 000×0.682 6＝6 826.

(2)光通量在(191,227)范围内的灯泡个数大约是10 000×0.997 4＝9 974. 12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人． (1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解 (1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛， ∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10. 1

∴P(X≥90)＝2[1－P(30＜X＜90)] 1

＝2(1－0.997 4)＝0.001 3.

1313

又P(X≥90)＝n，∴n＝0.001 3.∴n＝10 000. 故此次参加竞赛的学生总数共有10 000人． (2)设受奖的学生的分数线为x0.

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则P(X≥x0)＝10 000＝0.022 8. ∵0.022 8＜0.5，∴x0＞60.

∴P(120－x0＜X＜x0)＝1－2P(X≥x0)＝0.954 4， ∴x0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分．

13．(创新拓展)已知电灯泡的使用寿命服从正态分布X～N(1 500，1002)(单位：h)．

(1)购买一个灯泡，求它的使用寿命不小于1 400小时的概率；

(2)这种灯泡中，使用寿命最长的占0.13%，这部分灯泡的使用寿命至少为多少小时？

解 (1)P(X≥1 400)＝1－P(X＜1 400)

1－P?1 400＜X＜1 600?1＋0.682 6＝1－＝＝0.841 3.

22(2)设这部分灯泡的使用寿命至少为x0小时，

则x0＞1 500，则P(X≥x0)＝0.13%， P(X－1 500≥x0－1 500) ＝

1－P?|X－1 500 ＜x0－1 500?

＝0.13%，

2

P(|X－1 500|＜x0－1 500)＝1－0.26%＝0.997 4， 所以x0－1 500＝300，x0＝1 800(小时)．

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