浦东新区2016学年度第一学期教学质量检测

高三数学试卷 2016.12

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对

得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1．已知U?R，集合A??x4?2x?x?1?，则CUA?___?1,???___. 2．三阶行列式2?783?532?6中元素?5的代数余子式的值为___34_____. 41x?的二项展开式中含2项的系数是____7_____. 3．?x1????2?4．已知一个球的表面积为16π，则它的体积为____

32?____. 35．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球. 这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是_____

2_____. 56．已知直线l：x?y?b?0被圆C：x2?y2?25所截得的弦长为6，则b?__?42___. 7．若复数(1?ai)(2?i)在复平面上所对应的点在直线y?x上，则实数a?___3___. 8．函数f(x)?(3sinx?cosx)(3cosx?sinx)的最小正周期为___?____. 9．过双曲线C：

x2y2??1的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C的两条渐近2a4线于A、B两点，O为坐标原点，则?OAB的面积的最小值为___8____. 10．若关于x的不等式2?m?x1?0在区间[0,1]内恒成立， x2则实数m的取值范围为___?，2?__.

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?3?2??11．如图，在正方形ABCD中，AB?2，M、N分别是边

?????????BC,CD上的两个动点，且MN?2，则AM?AN的取值

D N C M

范围是 [4,?8? . 2 2 ]A B 12．已知定义在N上的单调递增函数y?f(x)，对于任意的

n?N?, 都有f?n??N? 且f?f(n)??3n恒成立，则f(2017)?f(1999)=___54____.

解答：由题意，f(f(1))?3，而f(n)?N*，

若f(1)?1，则f(f(1))?f(1)?1，不合题意，舍. 若f(1)?2，则f(f(1))?f(2)?3，符合题意.

若f(1)?3，则f(f(1))?f(3)，由单调性可知，

f(3)?5，故f(f(1))?5，与已知矛盾. 所以，f(1)?2，同理：f(2)?3.

则有f(3)?f(f(2))?6，f(6)?f(f(3))?9，f(9)?f(f(6))?18

由单调性及f(n)?N，可知， f(4)?7f,(?5)f8,?(7f)f(?(4))f1?2,f(f8)? (* 则应有f(2?3k?1)?3k，f(3k)?2?3k，k?N 下证：当k?1时，f(2)?3，f(3)?6，显然成立。 假设f(2?3k?1)?3k，f(3k)?2?3k，k?N

则f(2?3k)?f(f(3k))?3k?1，f(3k?1)?f(f(2?3k))?2?3k?1，由归纳法可知 f(2?3k?1)?3k，f(3k)?2?3k对?k?N都成立 当n?[3k?1***,2?3k?1]时，f(3k?1)?f(n)?f(2?3k?1)?2?3k?1?f(n)?3k

k?1 而3?2?3k?2?3k?1?3k?1，f(n)?n?3k?1

当n?[2?3k?1,3k]时，n?(n?3k?1)?3k?1?f(n?3k?1)

?f(n)?f(f(n?3k?1))?3(n?3k?1)?3n?3k

综上：f(n)?n?3k?1,n?[3k?1,2?3k?1)，k?N

*3n?3k，n?[2?3k?1,3k)

?2?36?1999?2017?37

?f(2017)?f(1999)?3(2017?1999)?54

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二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选

项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.

π个单位，所得的函数为 ( A ) 6ππ （A）y?cos(2x?) （B）y?cos(2x?)

36ππ（C）y?cos(2x?) （D）y?cos(2x?)

3613．将y?cos2x图像向左平移

14．已知函数y?f(x)的反函数为y?f?1(x)，则函数y?f(?x)与y??f?1(x)的图像

( D )

（A）关于y轴对称 （C）关于直线x?y?0对称

（B）关于原点对称

（D）关于直线x?y?0对称

15．设?an?是等差数列，下列命题中正确的是 ( C ) （A）若a1?a2?0，则a2?a3?0

（B）若a1?a3?0，则a1?a2?0

（C）若0?a1?a2，则a2?a1a3 （D）若a1?0，则?a2?a1??a2?a3??0 16．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于

8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所

B的大小关系是 ( A ) 需费用为A元，购买3只康乃馨所需费用为B元，则A、

（A）A?B （B）A?B

（C）A?B （D）A、B的大小关系不确定

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在长方体ABCD－A1B1C1D1中（如图），AD?AA1?1，AB=2，点E是棱AB的中点．

（1）求异面直线AD1与EC所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的

四面体称为鳖臑. 试问四面体D1CDE是否为

A

鳖臑？并说明理由.

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D1

B1

D C1

A1

C

E

B

??解：（1）作AE?//CE交CD于E?， 因为AD?AA 2，1E?1?DE'?1，所以AE?D故?AD1E?为正三角形，异面直线AD1与EC所成角为60?…………………6分

（2）E是棱AB上的中点，则?ADE、?CBE均为等腰直角三角形，

故?DEC?90?，所以?DEC为直角三角形.………………………………………9分

由DD1?平面ABCD，DE?CE，知CE?平面DD1E，故CE?DE，所以?D1EC 1为直角三角形…………………………………………………………………………13分 而显然?DD1E、?DD1C均为直角三角形，故四面体D1CDE四个面均为直角三角形， 为鳖臑. …………………………………………………………………………………14分

18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， （1）若B?π33，b?7，△ABC的面积S?，求a?c值； 32????????????????（2）若2cosC(BA?BC?AB?AC)?c2，求角C.

解：（1）?B??3,S?ABC?133 acsinB?22?ac?6…………………………………………………………………………2分

222 由余弦定理得a?c?b?2accosB………………………………………4分

2?(a?c)?25，a?c?5……………………………………………………7分

（2）?2cosC(accosB?bccosA)?c2?2cosC?acosB?bcosA??c…………10分

又?acosB?bcosA?c………………………………………………………12分

1∴2cosC?1，cosC?

2π∵C??0，π?，∴C?………………………………………………………14分

3

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19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的一条直线交

ab椭圆于P、Q两点，若?PF1F2的周长为4?42，且长轴长与短轴长之比为2:1.

（1）求椭圆C的方程；

?????????????（2）若F1P?F2Q?PQ，求直线PQ的方程.

解：（1）由条件知：2a?2c?4?42，

a:b?2:1 ?a2?b2?c2

解得：a?22,b?2,c?2，…………4分

x2y2??1………………6分 所以椭圆C的方程为84（2）设直线PF2的方程为：x?ty?2, P(x x,y)1,y1),Q(22；

???????????????????????????????????因为FP?OP?F2O?OQ?OP?OQ， 1?F2Q?FO1????????????所以OP?OQ?PQ，所以OP?OQ,所以x1x2?y1y2?0。…………9分

?x2y2?1??22 ??t?2?y?4ty?4?0 4?8??x?ty?2 y1?y2??4t?4,yy?………………………………………11分 1222t?2t?2

x1x2?y1y2?解得：t2??2t?1?y?2?t1y?1y2?y42?? 012…………………………………………………………13分 ,t??22所以直线PQ的方程为2x?y?22?0…………………………………14分

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