第七单元 整理与复习

教材分析：

本册教科书依次教学了长方体和正方体、分数乘法、分数除法、解决问题的策略、分数四则混合运算、百分数等内容。期末复习按“数的世界”“图形王国”“应用广角”等三块进行组织。由于没有统计方面的新授内容，所以把统计的思想方法穿插在上述三块里，结合着解题适当加以应用。

设计意图：

1.“数的世界”侧重于数的概念系统的建立，以及运算能力的加强

在分数乘法里，主要教学了分数乘法的意义和计算法则；在分数除法单元里，主要教学了分数除法的计算法则以及有关比的意义与性质的知识；在分数四则混合运算单元里，主要教学了整数的混合运算顺序和运算律同样适用于分数运算；在百分数单元里主要教学了百分数的意义，百分数与分数、比的联系，百分数的实际应用。本单元教材认真分析了上述数学内容的联系，看到：百分数意义与分数意义有本质相同的一面，百分数与比有实质性关系，分数乘法的意义涵盖百分数乘法的概念，应用分数解决实际问题的思路是比较上位的思想方法。同时，也分析了学生的实际情况，可以估计到：大多数学生能较好地掌握分数乘、除法的计算法则，能正确计算分数乘、除法；百分数的教学刚刚结束，在单元整理与练习时，已经认真梳理了百分数与分数的联系与区别，百分数与比的联系与区别，大多数学生不会很快遗忘。在百分数单元里，学生解答了许多有关百分数的实际问题，尤其是教材设计编排的一些题组，能帮助他们初步形成解决百分数问题的思路，学会分析数量关系的方法与技巧，数量关系意识与方程观念应该有较大的发展。鉴于对数学内容和学生实际的上述分析，本单元教材在“数的世界”里，先提出几个比较概括的问题，引导学生回忆、整理有关的知识，再编排十七道练习题，引导学生在解题过程中加强对知识的理解，体会知识的具体应用。

“本学期学习了分数的哪些运算？”简单回答是分数乘法和分数除法，具体来说包括运算的方法、运算的意义、运算的应用三方面知识，进一步列举有分数乘法的计算法则、分数乘法的意义、求一个数的几分之几是多少的实际问题；有分数除法的计算法则，以及已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题。教学应该引导学生由粗到细，逐步回忆并梳理出三方面知识的具体内容。随着这些内容的“浮出”，学生的认知结构会发生相应的调整与优化。

“学习了比和百分数的哪些知识？”可以分两个层次回忆整理有关的知识。首先分别回忆比的知识和百分数的知识，然后整理比和百分数的联系与区别。关于比的知识，主要有比的意义、比的性质、求比值和化简比，其中比的意义是重点、是主线。两个数的比表示这两个数相除，前项除以后项的商是比的比值；两个数相比相当于这两个数相除，除法有商不变性质，比有相对应的基本性质；根据商不变性质可以改写除法算式，应用比的性质可以化简比。当学生把这些关系整理清楚以后，他们的认知结构就往纵深发展了一步。关于百分数的知识主要有百分数的意义、百分数与分数或小数的相互改写，百分数的意义是重点。如果把百分数理解为特殊的分数，它的外在表现形式是用“％”表示其分母为100。所以，百分数能改写成分母是100的分数并约分化简；百分数能通过“分子除以100”，即去掉％并把小数点往左移动两位，改写成小数。反之，分数或小数也能改写成百分数。当学生理解上述关系以后，百分数与分数、小数的改写就有百分数的意义为支撑，改写方法就不会是机械的行为。

“能用这些知识解决哪些实际问题？”可以让学生举例说明。在分数乘法和分数四则混合运算这两个单元里，主要解答求一个数的几分之几是多少的问题；在分数除法这个单元里主要解答已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题，以及按比例分配问题；在百分数单元里主要解答求一个数是另一个数的百分之几、求一个数的百分之几是多少、已知一个数的百分之几是多少求这个数三类百分数问题。按比例分配问题通常转化成求一个数的几分之几是多少的问题并获得解法，解答三类百分数实际问题的思想方法完全可以应用于解答分数的问题。所以，回忆有关分数、比和百分数的实际问题，应该整理它们的解题策略和思路，帮助学生积累系统的解题经验，更好地掌握分析数量关系的方法与要领。

教材编排的十七道练习题，能帮助学生具体地、深入地、细致地理解有关的基础知识，进一步积累解决实际问题的经验。为此，编排的十七道习题不仅要解答一遍，更要挖掘有关的知识、方法与经验，提高学生解决问题的能力。

第1~3题着重练习百分数、比的概念。第1题要求解释三个现实情境里的百分数的含义，大多数学生不会有困难。在理解这些百分数意义的基础上，可以让学生估计一下，2010年农村居民人均纯收入大约是多少元，世界人均水资源占有量大约是多少立方米。只要估计，不要列算式或方程求解；只要思考得有道理，不求得数准确。这些估计有助于对百分数意义的理解，有益于数感的发展。第2题把百分数改写成分数和比，把小数改写成百分数、比和分数。大多数学生能够正确改写。教学应该让他们联系百分数的意义、小数的意义，说说改写时的想法。如125％可以看作分母是100的分数，看作后项是100的比，写出的分数和比都要化简。又如0.45是两位小数，可以写成分母是100的分数、后项是100的比，也可以直接写成百分数。第3题根据已知的数据，可以组成许多个比。有两个同类数量的比，

如两个质量的比、两个时间的比、两个路程的比；有两个不同类数量的比，如路程与时间的比。无论是两个同类数量的比还是两个不同类数量的比，都表示两个数相除。

第4~7题着重练习计算。教材的要求是：比较容易的分数四则计算可以直接说出得数；稍复杂的计算可以笔算出结果；四则混合运算应注意选择算法，或是按运算顺序计算，或是利用运算律、运算性质简便计算。要提倡计算结果正确、方法简便。

第8~17题都是解决实际问题，其中有些题的解答学生比较熟悉，有些题的解法需要思考一下。第8题根据已知的“5/4分钟行了2/5千米”，求平均每分钟行多少千米，行1千米需要多少分钟。列除法算式解答这两个问题的思考有点难，可以引导学生从整数入手，向分数类推。如根据“5分钟行2千米”，求1分钟行多少千米，需要把2千米平均分成5份，即2÷5（路程÷时间=1分钟行的路程）；求行1千米要多少分钟，需要把5分钟平均分成2份，即5÷2（时间÷路程=行1千米要的时间）。这些数量关系应用到分数运算里面，就能列出解决相应问题的算式。第9题是一个题组，它的两小题都已知“五、六月用煤量的比是7∶8”。从这个比可以推理出：五月用煤量是两个月用煤量的7/15，六月用煤量是两个月用煤量的8/15，五月用煤量是六月的7/8，六月用煤量是五月的8/7。利用这些分率，第9题的两小题都能转化成求一个数的几分之几是多少的问题。第12题计算个人应缴纳的所得税，涉及“个人月工资收入超过3500元部分，应缴纳所得税”的规定，这是新授时没有出现的情况。第14题是一个题组，解答两个小题都要用数量关系式“总面积-种果树的面积=种松树的面积”。两个小题有“互逆”关系，第（1）题解答以后能改编成第（2）题，第（2）题解答以后能改编成第（1）题。

2.“图形王国”侧重于空间观念的发展和应用意识的培养

在空间与图形领域，本学期主要教学长方体和正方体，包括它们的形状与结构、表面积与体积的概念、表面积和体积计算的方法与实际应用等具体内容。就大多数学生来说，对长方体、正方体特征的认识会比较清楚，他们能指出相对的面、相对的棱，能识别长、宽、高；有长方体、正方体表面积的概念。但计算表面积的方法可能会有遗忘，尤其是涉及五个面、四个面计算的实际问题，解答时会出现困难。也会求长方体、正方体的体积，但体积概念可能还比较淡薄，尤其是求容器的容积，可能障碍较多。为此，教材十分重视空间观念的培养，在正确理解概念的基础上，鼓励学生开展空间想象，利用鲜明的概念或表象，通过形象思维，探索解决问题的方法。在“图形王国”里，教材先提出三个问题，引导学生回忆、整理有关的基础知识，再编排五道习题，在应用知识解决问题的过程中，加强对基础知识的理解和掌握。

“长方体和正方体各有什么特征？”唤醒学生头脑里的有关表象，激活关于长方体、正方体的概念。利用这个问题复习长方体和正方体的知识，首先要分别说出长方体的特征、正方体的特征，然后要梳理长方体与正方体的关系，进一步体会正方体具有长方体的所有特征，是长、宽、高都相等的特殊长方体。接着还要指出长方体的前、后两个面，说说各个面的面积怎样计算；指出长方体的左、右两个面，说说各个面的面积怎样计算；指出长方体的上、下两个面，说说各个面的面积怎样计算。在长方体的长、宽、高与各个面的长、宽之间建立对应联系，有助于空间观念的发展。