【思考】

如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？

请证明点D也不在⊙O内． 【应用】

利用【发现】和【思考】中的结论解决问题：

若四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．

（1）作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F（如图④），求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；

（2）如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，已知sin∠AED=，AD=1，求DG的长．

【考点】圆的综合题． 【专题】压轴题．

【分析】【思考】假设点D在⊙O内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D不在⊙O内；

【应用】（1）作出RT△ACD的外接圆，由发现可得点E在⊙O上，则证得∠ACD=∠FDA，又因为∠ACD+∠ADC=90°，于是有∠FDA+∠ADC=90°，即可证得DF是圆的切线；

（2）根据【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上，进而易证四边形ACGD是矩形，根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长，即DG的长．

【解答】解：【思考】如图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，则∠AEB=∠ACB，∵∠ADB是△BDE的外角， ∴∠ADB＞∠AEB， ∴∠ADB＞∠ACB，

因此，∠ADB＞∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾， 所以点D也不在⊙O内，

所以点D即不在⊙O内，也不在⊙O外，点D在⊙O上； 【应用】

（1）如图2，取CD的中点O，则点O是RT△ACD的外心， ∵∠CAD=∠DEC=90°， ∴点E在⊙O上， ∴∠ACD=∠AED， ∵∠FDA=∠AED， ∴∠ACD=∠FDA， ∵∠DAC=90°， ∴∠ACD+∠ADC=90°， ∴∠FDA+∠ADC=90°， ∴OD⊥DF，

∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线； （2）∵∠BGE=∠BAC，

∴点G在过C、A、E三点的圆上，如图3，

又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆，即⊙O， ∴点G在⊙O上，

∵CD是直径， ∴∠DGC=90°， ∵AD∥BC， ∴∠ADG=90° ∵∠DAC=90°

∴四边形ACGD是矩形， ∴DG=AC，

∵sin∠AED=，∠ACD=∠AED， ∴sin∠ACD=， 在RT△ACD中，AD=1， ∴CD=， ∴AC=∴DG=

．

=

，

【点评】本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键．

21．一次函数y=﹣x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2+4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的右侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C． （1）求点C的坐标．

（2）设二次函数图象的顶点为D．

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式． ②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可知x=﹣2，将x=﹣2代入y=从而可知点C的坐标为（﹣2，）；

（2）①根据关于x轴对称的点的坐标特点可知D（﹣2，

），从而得到CD=3，然后三角形的

x得：y=

=，

面积公式可求得CD边上的高，故此可知得到点A的横坐标为0，从而可知点A的坐标为（0，0），

2

0）a=．设抛物线的解析式为y=a（x+2）﹣，将（0，代入得：抛物线的解析式为y=

；

m）②如图所示，过点A作AE⊥DC，垂足为E．设点D的坐标为（﹣2，，则CD=|m﹣|，由△ACD的面积为10，可知

=10，从而求得：m=6.5或m=﹣3.5，故此可求得

点D与点A的坐标，最后利用待定系数法求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴方程为x=﹣∴抛物线的对称轴为x=﹣

=﹣2．

，