刚体力学基础 习题 解答

衡水学院 理工科专业 《大学物理B》 刚体力学基础 习题

命题教师:郑永春 试题审核人:张郡亮

一、填空题(每空1分)

1、三个质量均为m的质点,位于边长为a的等边三角形的三个顶点上。此系统对通过三角形中心并垂直于三角形平面的轴的转动惯量J0＝__ ma2 _,对通过三角形中心且平行于其一边的轴的转动惯量为JA＝__

12

ma。 212

ma_,对通过三角形中2心与一个顶点的轴的转动惯量为JB＝__

2、两个质量分布均匀的圆盘A与B的密度分别为ρA与ρB (ρA>ρB),且两圆盘的总质量与厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量分别为JA与JB,则有JA < JB 。

3、 一作定轴转动的物体,对转轴的转动惯量J＝3、0 kg·m2,角速度?0＝6、0 rad/s.现对物体加一恒定的制动力矩M ＝－12 N·m,当物体的角速度减慢到?＝2、0 rad/s时,物体已转过了角度??＝__4、0rad

4、两个滑冰运动员的质量各为70 kg,均以6、5 m/s的速率沿相反的方向滑行,滑行路线间的垂直距离为10 m,当彼此交错时,各抓住一10 m长的绳索的一端,然后相对旋转,则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L＝__2275 kg·m2·s

1

_;它们各自收拢绳索,到绳长为5 m时,各自的速率? ＝__13 m·s1_。

5、有一质量均匀的细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置,然后任其下落,则在下落过程中的角速度大小将 变大 ,角加速度大小将 变小 。 二、单项选择题(每小题2分)

( A )1、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上,下列说法正确的就是:

A、这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零;

B、这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩一定就是零; C、当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定就是零; D、当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定就是零。

( C )2、一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上,滑轮的转动惯量为J,绳下端挂一物体。物体所受重力为P,滑轮的角加速度为?.若将物体去掉而以与P相等的力直接向下拉绳子,滑轮的角加速度?将

A、不变; B、变小; C、变大; D、如何变化无法判断。 ( C )3、关于刚体的转动惯量,下列说法中正确的就是

A、只取决于刚体的质量,与质量的空间分布与轴的位置无关; B、取决于刚体的质量与质量的空间分布,与轴的位置无关; C、取决于刚体的质量、质量的空间分布与轴的位置;

D、只取决于转轴的位置,与刚体的质量与质量的空间分布无关。

( C )4、一人造地球卫星到地球中心O的最大距离与最小距离分别就是RA与RB.设卫星对应的角动量分别就是LA、LB,动能分别就是EKA、EKB,则应有

A、LB > LA,EKA = EKB; B、LB < LA,EKA = EKB; C、LB = LA,EKA < EKB; D、LB = LA,EKA > EKB. ( C )5、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动,如图1射来两个质量 相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内, 则子弹射入后的瞬间,圆盘的角速度?

1

m O m M 图1

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A、增大; B、不变; C、减小; D、不能确定。 三、判断题(每小题1分)

( √ )1、刚体平动过程中,可用刚体上任意一点的运动来描述平动刚体的整体运动情况。 ( √ )2、刚体定轴转动时,刚体上所有质元都在垂直于转轴的平面上作圆周运动。 ( × )3、刚体的转动惯量J就是矢量,不但有大小还有方向。

( √ )4、刚体的转动惯量相当于质点平动时的质量,它就是物体在转动中惯性大小的量度。 ( × )5、定轴转动刚体的角动量守恒的条件就是刚体所受外力之与为零。 四、简答题

1、(6分)如图2所示,一匀质木球固结在一细棒下端,且可绕水平光滑固定轴O转动,今有一子弹沿着与水平面成一角度的方向击中木球而嵌于其中,之后棒与球升高。试分析击中与升高两过程中,系统的守恒情况及相应的原因。

答:击中过程角动量守恒(1分),原因就是木球与细棒系统受到的重力与来自转轴的力对O点转轴都不产生力矩。(2分)

图2

升高过程机械能守恒(1分),原因就是木球、细棒与地球组成的系统只有重力做功,使动能变为势能。(2分) 2、(4分)花样滑冰运动员想高速旋转时,她先把一条腿与两臂伸开,并用脚蹬冰使自己转起来,然后她再收拢腿与臂,她的转速就明显地加快了,说明她速度加快的道理？

答:忽略她收拢腿与臂时用脚蹬冰过程中的摩擦力矩,合外力矩为零,因而她对中心轴线的的角动量守恒(2分)。运动员收拢腿与臂时的转动惯J2显然小于一条腿与两臂伸开时转动惯量J1,因此运动员收拢腿与臂时的转动惯ω2显然大于一条腿与两臂伸开时转动惯量ω1 (2分)。 五、计算题

1、(10分)飞轮的质量m＝60kg,半径R＝0、25m,绕其水平中心轴O转动,转速为900转/分。利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F,可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如图3所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0、4,飞轮的转动惯量可按J?1mR2计算。试求F＝100 N,可使飞轮在多长时间内停止转动? 2解:图中N、N?就是正压力,Fr、Fr?就是摩擦力,Fx与Fy就是杆在A点转轴处所受支承力,R就是轮的重力,P就是轮在O轴处所受支承力.

杆处于静止状态,所以对A点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有

F(l1?l2)?N?l1?0N??l1?l2F (2分) l1对飞轮,根据转动定律M?J?,有???FrR/J (2分)

Fr??N??N???l1?l2F (2分) l1 ???FrR2?(l1?l2)2?0.40?(0.50?0.75)40??F=??100??rad?s?2(2分) JmRl160?0.25?0.503图3

自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

t????00??0900?2??39?=??=2.25?=7.06s (2分) ??60?4042

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2、(10分)如图4所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,

1它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动惯量为MR2,滑轮轴光滑。试

2 R M m 求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系式。

解:以物体m为研究对象,进行受力分析得: mg?T?ma (1) (2分) 以定滑轮为研究对象,应用转动定律M?J?得TR? 由线量与角量之间的关系与(1)、(2)式得: a?R??1MR2? (2) (3分) 2图4

2mg (3分)

M?2m2mgt (2分)

M?2m 物体下落做匀变速直线运动: v?v0+at? 3、(10分)如图5所示,一匀质细杆质量为m,长为l,可绕过一端O的水平轴自由转动,杆于水平位置由静止开始摆下,求:(1)初始时刻的角加速度;(2)杆转过?角时的角速度。

解: (1)由转动定律M?J? (2分)

11 得:mgl?ml2? (2分)

233g ?? (1分)

2l图5

(2)取杆水平开始摆下时重力势能为零,由机械能守恒定律得:

11l (ml2)?2?mgsin??0 (3分)

232 ??3gsin? (2分) l 4、(10分)如图6所示,一长为l=1m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。抬起另一端使棒向

1上与水平面成600,然后无初转速地将棒释放。已知棒对轴的转动惯量为ml2,其中m与l分别为棒的质量与长度,求:

3 (1) 放手时棒的角加速度; (2) 棒转到水平位置时的角加速度。

解:(1)当棒与水平面成60°角并开始下落时,根据转动定律 M?J? (2分)

11 得:mglcos60o?ml2? (2分)

23 l O mg ? 60°图6 ??M3g??7.35 rad/s2 (2分) J4l1 (2)当棒转动到水平位置时,力矩M?mgl(2分)

2 根据转动定律得: ??M3g??14.7 rad/s2 (2分) J2l5、(10分)有一半径为R的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动,转动惯量为J,开始时转台以匀角速度ω0转动,此时有一质量为m的人站在转台中心,人与转台对中心的角动量各就是多少？随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时,转台的角速度为多少？

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解:(1)根据角动量的定义得:L人?rmv?0; (2分) L转台?J?0 (2分)

(2)把转台与人作为一系统,人沿半径向外跑去过程中,重力与转轴的力对中心轴的力矩为零,所以系统对

轴的角动量守恒。 (2分)

J?0?(J?mR2)? (3分)

所以当人到达转台边缘时,转台的角速度为

??J?0 (1分) 2J?mR4