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18.1.2 平行四边形的判定

第3课时

一、教学目的：

1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．

二、重点、难点

1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．

2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． 三、例题的意图分析

例1是是三角形中位线性质的证明题，教材采用的是先证明后引出概念与性质的方法，它一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降低难度，因此教师们在教学中要把握好度．

建议讲完例1，引出三角形中位线的概念和性质后，马上做一组练习，以巩固三角形中位线的性质，然后再讲例2．

例2是一道补充题，选自老教材的一个例题，它是三角形中位线性质与平行四边形的判定的混合应用题，题型挺好，添加辅助线的方法也很巧，结论以后也会经常用到，可根据学生情况适当的选讲例2．教学中，要把辅助线的添加方法讲清楚，可以借助与多媒体或教具． 四、课堂引入

1． 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2． 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？

（答：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．） 3．创设情境

实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图） 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？

五、例习题分析

例1（教材P48例题） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=

BC．

分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

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方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=BC且DE=

BC．

DF，所以DE∥

（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=

DF，所以DE∥BC且DE=

BC．

定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？ （2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

〖拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小三角形全等吗？（让学生口述理由） 例2（补充）已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

证明：连结AC（图（2）），△DAG中， ∵ AH=HD，CG=GD，

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∴ HG∥AC，HG=同理EF∥AC，EF=

AC（三角形中位线性质）． AC．

∴ HG∥EF，且HG=EF．

∴ 四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形． 六、课堂练习

1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．

2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长． 3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm； （2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．

七、课后练习

1．（填空）一个三角形的周长是135cm，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm．

2．（填空）已知：△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，如果△DEF的周长是12cm，那么△ABC的周长是 cm．

3．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

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卷（1）

考试用时：120分钟，试卷满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．某校对九年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为（单位：h）：3.5，4，3.5，5，5，3.5．这组数据的众数是（ ）

A．3 B．3.5 C．4 D．5

3．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如下表所示：

选手 甲 乙 丙 丁 方差 0.030.030.020.01

5 6 8 5

则这四人中成绩最稳定的是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．一次函数y=﹣3x+5的图象不经过的象限是第（ ）象限

A．一 B．二 C．三 D．四 5．下列计算错误的是（ ） A．3+2

=5

B．

÷2=

C．

×

=

D．

=

6．已知三角形三边长为a，b，c，如果+|b﹣8|+（c﹣10）2=0，则△ABC是（ ） A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形 C．以c为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形

7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知∠AOD=120°，AC=16，则图中长度为8的线段有（ ）

A．2条 B．4条 C．5条 D．6条

8．若一个等腰直角三角形的面积为8，则这个等腰三角形的直角边长为（ ） A．2 B．4 C．4 D．8

9．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ）

A．①，② 10．若

=﹣a

B．①，④ C．③，④ D．②，③

，则a的取值范围是（ ）

D．a≥﹣3

A．﹣3≤a≤0 B．a≤0 C．a＜0 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．函数中，自变量x的取值范围是 ．

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12．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形面积为 ．

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13．若正比例函数y=（m﹣1）x，y随x的增大而减小，则m的值是 ．

+|a﹣2|的结果为 ．

14．在数轴上表示实数a的点如图所示，化简

15．如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，BE平分∠ABC，则DE= ．

16．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm．

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三、解答题（共2小题，共18分） 17．（12分）（1）计算：﹣|

|﹣（2﹣π）0+（﹣1）2017

（2）先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣）+6，其中a=﹣1

18．（6分）如图，E、F分别为平行四边形ABCD的边BC、AD上的点，且∠1=∠2． 求证：四边形AECF是平行四边形．

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