3.7.1齐次函数
齐次函数的定义为：将函数f(x1,x2,?,xn)中的每一个自变量均变为原来的倍， t为常数，若函数f变为原来的tr倍，则函数f为r次齐次函数。用代数形式表达为：f(tx1,tx2,?,txn)?trf(x1,x2,?,xn)
一般来说，可以取任何值，只要txi在f的定义域内，但因为在经济应用中变量通常取正值，所以，一般t取正值。
例3.5 判断函数f(x,y,w)?xy?3w2x的齐次性。
解：以a乘以每个变量可以得到 f(ax,ay,aw)?axay?3aw2ax?xy?3w2x?af(x,y,w)，
0所以，函数f(x,y,w)为零次齐次函数。这个例中，当所有自变量等比例变化时，函数值不变。
例3.6 判断函数f(x,y,w)?x2y?3w22x的齐次性。
解：以a乘以每个变量可以得到： f(ax,ay,aw)?axay22?3aw2ax222?x23w???a???y2x2x?yax3aw???af(x,y,w)， ??所以，函数f(x,y,w)为一次齐次函数。一次齐次函数常称为线性齐次函数，这种函数的性质在后面还将详细讨论。
例3.7 判断函数f(x,y,w)?3x?5yw?2w的齐次性。 解：以a乘以每个变量可以得到：
f(ax,ay,aw)?3ax?5ayw?2aw2222222?a2?3x2?5yw?2w2??a2f(x,y,w)
所以，函数f(x,y,w)为二次齐次函数。 例 柯布-道格拉斯生产函数y?f(L,K)?AK?L1??
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f(tL,tK)?(tL)(tK)?1???tLK?1???tf(L,K)
柯布-道格拉斯生产函数是一次齐次函数，表示产出y与各要素投入的扩大比例相同。
定理1：如果f(x1,x2,?,xn)是r次齐次函数，那么它的偏导数f1,f2,?,fn是r?1次齐次函数。
r证明：由假设f(ax1,ax2,?,axn)?af(x1,x2,?,xn)，公式两边对xi求偏导得：
?f?(axi)?axixi?a?f?(axi)?ar?f?xi，则有
?f?(axi)?ar?1?f?xi，所以，fi是r?1次齐
次函数。
特别的如果f(x1,x2,?,xn)是任意报酬不变的生产函数，那么他的边际产出就是0次齐次函数。
定理2：如果f(x1,x2,?,xn)是r次齐次函数，那么在任意平面xi?xj上，该函数沿着从原点出发的任意射线上的每一点所对应的水平曲线的斜率是相等的。
证明：齐次函数f(x1,x2,?,xn)在平面xi?xj上任何一条水平曲线的斜率为 ?xj?xi??fifj，又
fi(ax1,ax2,?,axn)fj(ax1,ax2,?,axn)?aar?1r?1fi(x1,x2,?,xn)fj(x1,x2,?,xn)?fi(x1,x2,?,xn)fj(x1,x2,?,xn)
所以沿着从原点出发的任一条射线上面的任何水平曲线的斜率都相等。具有这样性质的一类函数，在数学上也被称为同势函数。
在消费理论中，水平曲线即无差异曲线，定理的意义为：延原点出发任意一条射线上任意一点所对应的边际替代率均相等。在生产理论中，水平曲线即等产量线，定理的意义为：延原点出发任意一条射线上任意一点所对应的边际产出比率均相等。
定理3 欧拉定理
假定f(x1,x2,?,xn)为r次齐次函数且可导，则
?f?x1x1??f?x2x2????f?xnxn?rf(x1,x2,?,xn)。
定理4 欧拉定理的逆定理
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如果
?f?x1x1??f?x2x2????f?xnxn?rf(x1,x2,?,xn)对所有的x1,x2,?,xn都成
立，则f(x1,x2,?,xn)为r次齐次函数。
可以用于判断齐次函数。
例如，证明柯布-道格拉斯生产函数Q?AK?L1??是
证明
劳动的边际产量为：
?Q?L?Q?K?AK?(1??)L???K??A(1??)??，
?L???1?资本的边际产量为：
?A?K??1L?(??1)?K??A????L???1。
L?Q?L?K?Q?K?LAK?AK??(1??)L1?????KA?KL?(??1)?AK?(1??)L1???A?KL?1??L?Q 由欧拉定理的逆定理可知柯布-道格拉斯生产函数为1次齐次函数。
边际产出反映出一个特征，就是边际产出是两种投入要素比例的函数，而与两种投入要素绝对值的大小无关。
从几何上来讲，如果每一种要素按照相同的比例发生变化，这意味投入将沿从原点出发的射线移动，在这条射线上的任意一点，柯布-道格拉斯生产函数的的任何水平曲线的斜率都相等。
K(2L0,2K0)
(L0,K0)L 在经济学上，上述等式的含义为：在规模效益不变的情况下，如果每种投入要素按其边际产量获得报酬，那么，所有要素所获得的报酬的和等于总产出。
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???1????1例3.8 令y?x1?x2?f(x1,x2)，则f1??x1x2，f2??x1x2。所以，
f1x1?f2x2??x1??1x2x1??x1x2??????1x2??x1x2??x1x2?????(???)x1x2
例3.9 考虑两种产品，其价格分别为p1,p2，其数量分别用x1,x2来表示。假设消费者的货币收入为M，并且第一种产品的需求函数为：x1?Mp2p12，
求证：该产品的需求不受中性通货膨胀的影响（即价格和收入按同样的增长速度增长），并证明欧拉定理对该函数成立。
证明：假定消费者货币收入M及p1,p2按相同的比率t增长。则有：
x1(tp1,tp2,tM)?tM(tP2tp1)?Mp2p1?x1(p1,p2,M)
222因此，消费者需求量并不受价格变化的影响，这个需求函数为0次齐次函数。
?x1?p1??2Mp2p1?x1?p23，
?x1?p2?x1?M?Mp12，
?x1?M?p2p12，因此
p1?x1?p1?p2?M??2Mp2p12?Mp2p12?Mp2p12?0
3.12同势函数
定义
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