二次函数几种解析式的求法
二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广,灵活性大,技巧性强,笔者结合近几年来的中考试
题,总结出几种解析式的求法,供同学们学习时参考。
一、 三点型
例1 已知一个二次函数图象经过(-1,10)、(2,7)与(1,4)三点,那么这个函数的解析式就
是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点,可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入,易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5、
这种方法就是将坐标代入y=ax+bx+c 后,把问题归结为解一个三元一次方程组,求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c、
二、交点型
例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A,若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A点,且与x轴交于B(0,0)、C(3,0)两点,试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x轴的两个交点坐标,可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的顶
22222221点A(2,-1)。将A点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=2 1123x?x2、 ∴y=2x(x-3),即 y=2
三、顶点型
例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点就是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k),故解析式为y=a(x-m)+k、在本题中可设y=a(x+1)+4、
2221再将点(1,2)代入求得a=-2
二次函数几种解析式的求法
1(x?1)2?4,∴y=-2 127x?x?2. 即y=-2
由于题中只有一个待定的系数a,将已知点代入即可求出,进而得到要求的解析式。
四、平移型
例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位,再向上平移3个单位得二次函数
2y?x2?2x?1,则b与c分别等于
(A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18、
分析 逆用平移分式,将函数y=x-2x+1的顶点(1,0)先向下平移3个单位,再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为(3,-3)。
2?bx?c?(x?3)?3 ∴y=x
22=x?6x?6. ∴b=-6,c=6、
因此选(B)
五、弦比型
例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2,其图象在X轴上截得的线段长为2,求这个二次函数的解析式。
分析 弦长型的问题有两种思路,一就是利用对称性求出交点坐标,二就是用弦比公式
22?ad=
就本题而言,可由对称性求得两交点坐标为A(1,0),B(3,0)。再应用交点式或顶点式求
2得解析式为y=-2x+8x-6、
六、识图型
1212x?(b?2)x?cx?(b?2)x?d22例 6 如图1, 抛物线y=与y=其中一条的顶点为P,另
一条与X轴交于M、N两点。
二次函数几种解析式的求法
(1)试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？ (2)求两条抛物线的解析式。
12x?(b?2)x?c2解 (1)抛物线y=与x轴交于M,N两点(过
程从略);
12x?(b?2)x?d(2)因y=2的顶点坐标为(0,1),
∴b-2=0,d=1, ∴b=2、
12x?12∴Y=、
12x将点N的坐标与b=2分别代入y=2+(b+2)x+c得c=6、 12x2∴y=+4x+6
七、面积型
2例 7 已知抛物线y=x?bx?c 的对称轴在 y轴的右侧,且抛物线与 y轴交于Q(0,-3),与x
轴的交点为A、B,顶点为P,ΔPAB的面积为8。求其解析式。
2解 将(0,-3)代入y=x?bx?c得 c=-3、
由弦长公式,得
AB?b2?12
?12?b24点P的纵坐标为
由面积公式,得
二次函数几种解析式的求法
12?12?b2b?12??8.24
解得b??2.
因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2、
2所以解析式为y=x?2x?3
八、几何型
例 8 已知二次函数y=x-mx+2m-4如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形,求其解析式。 解 由弦比公式,得AB=
2m2?4(2m?4)?m?4
(m?4)24顶点C的纵坐标为-
∵ΔABC为等边三角形
∴
(m?4)21??3?m?442
解得m=4?23,故所求解析式为
2x?(4?23)x?4?43, y=
2或y=x?(4?23)x?4?43
九、三角型
122 例 9已知抛物线y=x?bx?c的图象经过三点(0,25)、(sinA,0)、(sinB,0)且A、B为
直角三角形的两个锐角,求其解析式。 解 ∵A+B=90,∴sinB=cosA、 则由根与系数的关系,可得
0?sinA?cosA??b??sinA?cosA?c
二次函数几种解析式的求法
1212.将(0,25)代入解析式,得c=25
(1)?(2)?2,得
2b2?247?1,b??255 ∴
7∵-b?0,∴b=-5
x2?712x?525
所以解析式为y=
十、综合型
2x?px?q与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点, 例 10 如图2,已知抛物线y=-
若∠ACB=90,且tg∠CAO-tg∠CBO=2,求其解析式.
解 设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,则q=(-x1)?x2?OA?OB. 由ΔAOC～ΔCOB,可得OC=OA·OB, ∴q=q解得q1=1,q2=0(舍去),
220OCOC??2又由tg∠CAO-tg∠CBO=2得OAOB
?即
11??2X1X2
2∴x1+x2=-2x1x 即 p=2p=2
2所以解析式为y=-x+2x+1