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3??111??1????41,B?221,C?2??????67???331???616. 试划出部分选主元素三角分解法框图,并且用此法解方程组

?0?1???23?114??x1??1??????1x2?2?????2????x3????3??.

?1?A?2???4225156??15.?46??

17. 如果方阵A 有

aij?0(|i?j|?t),则称A为带宽2t+1的带状矩阵,设A满足三角分解条件,试推

导A?LU的计算公式,对r?1,2,?,n.

r?1uri?ari?1)

lir?(air?rkk?max(1,i?t)r?1?luki (i?r,r?1,?,min(n,r?t));

(i?r?1,?,min(n,r?t)).

?0.6A???0.10.5??0.3?,

2)18. 设

ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr计算A的行范数,列范数,2-范数及F-范数。 19. 求证

(a) ||x||??||x||1?n||x||?,

1(b)

n||A||F?||A||2?c2||A||Fn?n。

||x||p?||Px||20. 设 P?Rn且非奇异,又设||x||为R上一向量范数,定义

试证明

||x||pn?n是R上的一种向量范数。 为对称正定阵,定义

||x||A?(Ax,x)1/2n21. 设A?R,

n试证明||x||A为R上向量的一种范数。

22. 设x?R,x?(x1x2,?,xn),求证

nnTlim(?||xi||)y??i?1Tp1/p?maxxi?||x||?1?i?n。

23. 证明:当且尽当x和y线性相关且xy?0时,才有

||x?y||2?||x||2?||y||2。

224. 分别描述R中(画图)

Sv?{x|||x||v?1,x?R},(v?1,2,?)。

225. 令

?nn是R(或C)上的任意一种范数,而P是任意非奇异实(或复)矩阵,定义范数||x||??||Px||,

?1证明||A||??||PAP||。

n?nn?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数,证明存在常数c1,c2?0,使对一切A?R满足

c1||A||s?||A||t?c2||A||s

TTn?nTT27. 设A?R,求证AA与AA特征值相等,即求证?(AA)??(AA)。

28. 设A为非奇异矩阵,求证

1||A?1||??min||A||?||y||?。

?1y?029. 设A为非奇异矩阵,且||A?1||||?A||?1,求证(A??A)?1存在且有估计 ||?A||||A||||?A||.||A?(A??A)||A?1?1||cond(A)?||1?cond(A)30. 矩阵第一行乘以一数,成为

?2?A???1||A||

???1?。

证明当

???23时,cond(A)?有最小值。

T31. 设A为对称正定矩阵,且其分解为A?LDL(a) cond(A)2?[cond(?)2]; (b) cond(A2)?cond(?)2cond(?)2. 32. 设

T2?WW,其中W?DT1/2L,求证

T?100A???9999??98?

计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?) 33. 证明:如果A是正交阵,则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且

?为上矩阵的算子范数,证明

cond(AB)?cond(A)cond(B)。

第八章 解方程组的迭代法

1. 设方程组

?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当||x?0A???22. 设

(k?1)?x(k)||??10?4时迭代终止.

0??0?, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛.

1223. 证明对于任意选择的A, 序列

I,A,A,13!A,314!A,?4收敛于零. 4. 设方程组

?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0);

迭代公式为

1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22? (k?1,2,?).

(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列

r?a12a21a11a22?1.5. 设方程组

?x1?0.4x2?0.4x3?1?x1?2x2?2x3?1???0.4x1?x2?0.8x3?2?x1?x2?x3?1?0.4x?0.8x?x?3?2x?2x?x?112323?(a) (b) ?1

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

6. 求证k??limAk?A的充要条件是对任何向量x,都有

limAkx?Ax.k??

7. 设Ax?b,其中A对称正定,问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛?试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组

111?x?x?x?;?143442??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;123?442?111??x1?x2?x4?.42 ?4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径;

(b) 求解此方程组的高斯-塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径;

(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组(分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1)

?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.23?

精确解

数。

10. 用SOR方法解方程组(取?=0.9)

x?(?12,1,?12),T要求当||x?x?(k)||??5?10?6时迭代终止,并且对每一个?值确定迭代次

?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1

要求当||x(k?1)?x(k)||??10?4时迭代终止。

?x(k)11. 设有方程组Ax?b,其中A为对称正定阵,迭代公式

x(k?1)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)

0???2试证明当

?时上述迭代法收敛(其中0????(A)??)。

(k?1)12. 用高斯-塞德尔方法解Ax?b,用xi记x(k?1)的第i个分量,且

i?1nijri(k?1)i(k)i(k?1)?bi??aj?1x(k?1)j??aijxij?i(k)。

x?x(k)??ri(k?1)(a) 证明 (b) 如果?(k)ai;

?(k?1)?x?x,其中x是方程组的精确解,求证:

?i?1(k?1)i??(k)i?riaii(k) 。

(k)nri(k?1)?其中 (c) 设A是对称的,二次型

?j?1aij?(k?1)j??aij?ij?iQ(?(k))?(A?n(k),?)

2Q(?(k?1))?Q(?(k)证明

)???j?1(rj(k?1))ajj。

(0)(d) 由此推出,如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵,且高斯-塞德尔方法对任意初始向量x敛的,则A是正定阵。

13. 设A与B为n阶矩阵,A为非奇异,考虑解方程组

Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,

是收

其中z1,z2,d1,d2?R。

(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件

Az1Az1(m?1)n?b1?Bz2,Az2?b1?Bz2,Az2(m)(m)(m?1)?b2?Bz1?b2?Bz1(m)(b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件

(m?1)(m?1)(m?0); (m?0);

(m?1)比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵

?1?A?a???aa1a12a??a?1??

12是收敛的。

对于

?12?a?1是正定的,而雅可比迭代只对2020??a??5?0?A??3??015. 设

12?133??4??1??7?,试说明A为可约矩阵。

(k?1)16. 给定迭代过程,x?Cx(k)?g,其中C?Rn?n(k?0,1,2,?),试证明:如果C的特征值

?i(C)?0(i?1,2,?),则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。

17. 画出SOR迭代法的框图。

18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1,求证:解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b,其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵;

(b) 求证cond(AA)2?(cond(A)2)。

T2T第九章 矩阵的特征值与特征向量计算

1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量:

?7?A1?3????234?2???1?3???3?A2??4???3?4633??3?1???1(a) , (b) 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。 2. 方阵T分块形式为

,

?T11?T?????T12T22???T1n??T2n???Tnn?,

其中Tii(i?1,2,?,n)为方阵,T称为块上三角阵,如果对角块的阶数至多不超过2,则称T 为准三角形形式,用?(T)记矩阵T的特征值集合,证明

n?(T)???(Ti?1ii).3. 利用反幂法求矩阵

?6?2???12311??1?1??

的最接近于6的特征值及对应的特征向量。

4. 求矩阵

?4?0???00310??1?3??

与特征值4对应的特征向量。

5. 用雅可比方法计算

?1.0?A?1.0???0.51.01.00.25

的全部特征值及特征向量,用此计算结果给出例3的关于p的最优值。

6. (a)设A是对称矩阵,λ和x(||x||2?1)是A的一个特征值及相应的特征向量,又设P为一个正交阵,使

Px?e1?(1,0,?,0)

T0.5??0.25?2.0??证明B?PAP的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。

(b)对于矩阵

?2?A?10???2TT105?82???8?11??,

?212?x??,,??333?是相应于9的特征向量,试求一初等反射阵P,使Px?e1,并计算λ=9是其特征值,

B?PAP。

7. 利用初等反射阵将

T