3??111??1????41,B?221,C?2??????67???331???616. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组
?0?1???23?114??x1??1??????1x2?2?????2????x3????3??.
?1?A?2???4225156??15.?46??
17. 如果方阵A 有
aij?0(|i?j|?t)，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推
导A?LU的计算公式，对r?1,2,?,n.
r?1uri?ari?1）
lir?(air?rkk?max(1,i?t)r?1?luki (i?r,r?1,?,min(n,r?t))；
(i?r?1,?,min(n,r?t)).
?0.6A???0.10.5??0.3?，
2）18. 设
ikkrk?max(1,i?t)?lu)/urr计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证
(a) ||x||??||x||1?n||x||?，
1(b)
n||A||F?||A||2?c2||A||Fn?n。
||x||p?||Px||20. 设 P?Rn且非奇异，又设||x||为R上一向量范数，定义
。
试证明
||x||pn?n是R上的一种向量范数。 为对称正定阵，定义
||x||A?(Ax,x)1/2n21. 设A?R，
n试证明||x||A为R上向量的一种范数。
22. 设x?R,x?(x1x2,?,xn)，求证
nnTlim(?||xi||)y??i?1Tp1/p?maxxi?||x||?1?i?n。
23. 证明：当且尽当x和y线性相关且xy?0时，才有
||x?y||2?||x||2?||y||2。
224. 分别描述R中（画图）
Sv?{x|||x||v?1,x?R},(v?1,2,?)。
225. 令
?nn是R（或C）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数||x||??||Px||，
?1证明||A||??||PAP||。
n?nn?n26. 设||A||s,||A||t为R上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数c1,c2?0，使对一切A?R满足
c1||A||s?||A||t?c2||A||s
TTn?nTT27. 设A?R，求证AA与AA特征值相等，即求证?(AA)??(AA)。
28. 设A为非奇异矩阵，求证
1||A?1||??min||A||?||y||?。
?1y?029. 设A为非奇异矩阵，且||A?1||||?A||?1，求证(A??A)?1存在且有估计 ||?A||||A||||?A||.||A?(A??A)||A?1?1||cond(A)?||1?cond(A)30. 矩阵第一行乘以一数，成为
?2?A???1||A||
???1?。
证明当
???23时，cond(A)?有最小值。
T31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为A?LDL(a) cond(A)2?[cond(?)2]; (b) cond(A2)?cond(?)2cond(?)2. 32. 设
T2?WW，其中W?DT1/2L，求证
T?100A???9999??98?
计算A的条件数。cond(A)v(v?2,?) 33. 证明：如果A是正交阵，则cond(A)2?1。 34. 设A,B?Rn?n且
?为上矩阵的算子范数，证明
cond(AB)?cond(A)cond(B)。
第八章 解方程组的迭代法
1. 设方程组
?5x1?2x2?x3??12???x1?4x2?2x3?20?2x?3x?10x?323?1
(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;
(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当||x?0A???22. 设
(k?1)?x(k)||??10?4时迭代终止．
0??0?, 证明:即使||A||1?||A||??1级数I?A?A2???Ak??也收敛．
1223. 证明对于任意选择的A, 序列
I,A,A,13!A,314!A,?4收敛于零． ４. 设方程组
?a11x1?a12x2?b1;??a21x1?a22x2?b2; (a11,a12?0);
迭代公式为
1?(k)(k?1)x?(b?ax);11122?a11???x(k)?1(b?ax(k?1));22211?a22? (k?1,2,?).
(k){x}收敛的充要条件是 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列
r?a12a21a11a22?1.5. 设方程组
?x1?0.4x2?0.4x3?1?x1?2x2?2x3?1???0.4x1?x2?0.8x3?2?x1?x2?x3?1?0.4x?0.8x?x?3?2x?2x?x?112323?(a) (b) ?1
试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。
6. 求证k??limAk?A的充要条件是对任何向量x，都有
limAkx?Ax.k??
7. 设Ax?b，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组
111?x?x?x?;?143442??x?1x?1x?1;?243442???1x?1x?x?1;123?442?111??x1?x2?x4?.42 ?4(a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵B0的谱半径；
(b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；
(c) 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子??1.03,??1,??1.1）
?4x1?x2?1;???x1?4x2?x3?4;??x?4x??3.23?
精确解
数。
10. 用SOR方法解方程组（取?＝0.9）
x?(?12,1,?12),T要求当||x?x?(k)||??5?10?6时迭代终止，并且对每一个?值确定迭代次
?5x1?2x2?x3??12;???x1?4x2?2x3?20;?2x?3x?10x?3.23?1
要求当||x(k?1)?x(k)||??10?4时迭代终止。
?x(k)11. 设有方程组Ax?b，其中A为对称正定阵，迭代公式
x(k?1)??(b?Ax(k)), (k?0,1,2,?)
0???2试证明当
?时上述迭代法收敛（其中0????(A)??）。
(k?1)12. 用高斯－塞德尔方法解Ax?b，用xi记x(k?1)的第i个分量，且
i?1nijri(k?1)i(k)i(k?1)?bi??aj?1x(k?1)j??aijxij?i(k)。
x?x(k)??ri(k?1)(a) 证明 (b) 如果?(k)ai；
?(k?1)?x?x，其中x是方程组的精确解，求证：
?i?1(k?1)i??(k)i?riaii(k) 。
(k)nri(k?1)?其中 (c) 设A是对称的，二次型
?j?1aij?(k?1)j??aij?ij?iQ(?(k))?(A?n(k),?)
2Q(?(k?1))?Q(?(k)证明
)???j?1(rj(k?1))ajj。
(0)(d) 由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向量x敛的，则A是正定阵。
13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组
Az1?Bz2?b1,Bz1?Az2?b2,
是收
其中z1,z2,d1,d2?R。
(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件
Az1Az1(m?1)n?b1?Bz2,Az2?b1?Bz2,Az2(m)(m)(m?1)?b2?Bz1?b2?Bz1(m)(b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件
(m?1)(m?1)(m?0); (m?0);
(m?1)比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵
?1?A?a???aa1a12a??a?1??
12是收敛的。
对于
?12?a?1是正定的，而雅可比迭代只对2020??a??5?0?A??3??015. 设
12?133??4??1??7?，试说明A为可约矩阵。
(k?1)16. 给定迭代过程，x?Cx(k)?g，其中C?Rn?n(k?0,1,2,?)，试证明：如果C的特征值
?i(C)?0(i?1,2,?)，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。
17. 画出SOR迭代法的框图。
18. 设A为不可约弱对角优势阵且0???1，求证：解Ax?b的SOR方法收敛。 19. 设Ax?b，其中A为非奇异阵。 (a) 求证AA为对称正定阵；
(b) 求证cond(AA)2?(cond(A)2)。
T2T第九章 矩阵的特征值与特征向量计算
1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：
?7?A1?3????234?2???1?3???3?A2??4???3?4633??3?1???1(a) , (b) 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。 2. 方阵T分块形式为
,
?T11?T?????T12T22???T1n??T2n???Tnn?,
其中Tii(i?1,2,?,n)为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用?(T)记矩阵T的特征值集合，证明
n?(T)???(Ti?1ii).3. 利用反幂法求矩阵
?6?2???12311??1?1??
的最接近于6的特征值及对应的特征向量。
4. 求矩阵
?4?0???00310??1?3??
与特征值4对应的特征向量。
5. 用雅可比方法计算
?1.0?A?1.0???0.51.01.00.25
的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。
6. (a)设A是对称矩阵，λ和x(||x||2?1)是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为一个正交阵，使
Px?e1?(1,0,?,0)
T0.5??0.25?2.0??证明B?PAP的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。
(b)对于矩阵
?2?A?10???2TT105?82???8?11??,
?212?x??,,??333?是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使Px?e1，并计算λ=9是其特征值，
B?PAP。
7. 利用初等反射阵将
T